矩阵和张量计算中的若干问题研究

论文摘要

在本文中,首先我们研究了奇异线性方程组非定常迭代法的收敛性,给出了收敛性成立的必要条件.我们进一步将新的收敛性结果运用到Hermitian半正定线性系统中.我们将一些已有的商收敛结果[11]推广到收敛.同时,将一些经典的定常迭代收敛性理论[11,12,40,66,129,132]推广到非定常情形,建立了新的非定常迭代收敛性结果,我们还将新的收敛性结果运用到求解Hermitian半正定线性系统的非定常迭代Tikhonov正则化方法[7,48]、多分裂算法[12,15,23]和非定常两阶段算法[11,14]的收敛性证明中.其次,我们研究了广义矩阵Sylvester方程（AX-YB,DX-YE）=（C,F）的有效条件数,其中A,D∈Rm×m,B,E∈Rn×n.同时,我们应用小样本统计方法快速估计了广义矩阵Sylvester方程的条件数,其计算量只需要O（m2n+mn2）次浮点数运算.数值例子表明我们给出的扰动界估计是有效的.第三,我们研究了高阶张量Sylvester方程（STE）的向后误差和扰动分析.我们给出了向后误差的上下界以及STE的一阶扰动,二阶扰动和基于残量的扰动界.我们将经典的矩阵Sylvester方程扰动结果推广到高阶情形.最后,我们改进了Google搜索引擎网页排序算法.我们进一步处理归并悬挂点之后的矩阵,将其中的一类弱非悬挂点也归并为一个节点.归并后的矩阵仍然和原始的Google矩阵具有相同的非零特征值.数值例子表明新算法可以节约计算PageRank的运算量.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 绪论
• 第二章 奇异线性方程组非定常迭代法收敛性
• 2.1 奇异线性方程组迭代法求解预备知识
• 2.1.1 收敛性的定义
• 2.1.2 定常与非定常迭代
• 2.2 收敛性结果证明
• 2.2.1 明准备
• 2.2.2 核心定理
• 2.2.3 一些有用的推论
• 2.3 Hermitian半正定线性方程组算法收敛性证明中的应用
• 2.3.1 Hermitian半正定线性方程组的迭代法收敛性结果的推广
• 2.3.2 非定常迭代Tikhonov正则化方法的收敛性
• 2.3.3 多分裂算法的收敛性
• 2.3.4 两阶段算法的收敛性
• 第三章 广义矩阵Sylvester方程有效条件数和小样本统计条件数估计
• 3.1 矩阵Sylvester方程条件数简介
• 3.1.1 广义矩阵Sylvester方程的解的存在唯一性条件
• 3.1.2 相关条件数理论
• 3.2 矩阵Sylvester方程的有效条件数和SCE算法
• 3.2.1 有效条件数
• 3.2.2 小样本统计条件数估计
• 3.2.3 矩阵Sylvester方程条件数SCE算法
• 3.3 数值算例
• 第四章 高阶张量Sylvester方程向后误差和扰动分析
• 4.1 张量Sylvester方程简介
• 4.1.1 张量Sylvester方程的建立
• 4.1.2 高阶张量的相关性质
• 4.2 张量Sylvester方程的向后误差及三种扰动界
• 4.2.1 向后误差分析
• 4.2.2 一阶扰动结果
• 4.2.3 二阶扰动结果
• 4.2.4 基于残量的扰动界
• 第五章 PageRank计算中Google矩阵节点归并方法
• 5.1 PageRank算法简介
• 5.2 悬挂点和弱非悬挂点的归并
• 5.3 数值算例
• 第六章 总结
• 参考文献
• 发表文章目录
• 致谢