基于小波的积分微分方程的数值解

论文摘要

小波分析是一门新兴理论,由于它具有时-频局部化特点和多尺度特性,所以被广泛地应用于各种领域。小波分析是Foureri分析的发展和完善.小波分析的发展是以解决实际问题应用为出发点,而后上升到辐射多学科的理论,所以小波分析一次又一次形成研究热潮,成为国际研究热点.小波变换克服了传统Fourier变换的不足,在时域和频域都具有良好的局部化特性,小波在数值分析、信号处理、图像处理等领域有重要的应用价值。由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长,从而可以聚焦到对象的任意细节。从这个意义上讲,它被誉为数学显微镜,可以预料在以后将成为科技工作者经常使用的重要的数学工具。小波分析是二十世纪九十年代出现的一门新的数学方法,是数学的重要分支,是继Fourier分析之后的一个突破性进展,是目前应用数学中一个迅速发展的研究领域,它具有丰富的数学理论,应用十分广泛,是工程应用中强有力的方法和工具,给许多相关领域带来了崭新的思想,并使其被越来越多数学研究工作者所关注。由于小波兼有光滑性和局部紧支撑性质,与传统的有限元、有限差分方法比较,能更好的处理积分和微分方程的数值求解问题。尺度函数与小波的构造对小波分析理论和应用的研究都具有重要的意义.本文详细阐述了小波理论的基本知识,首先详细介绍多分辨率分析的基本性质,并通过分析和讨论得到多分辨率分析本质的特征,给出了多分辨率分析的简洁定义。微分方程,积分方程及积分一微分方程出现在自然科学领域当中并且占有重要的地位.如何解积分（微分）方程(这是问题的关键.对于具体的积分（微分）方程（组）,除非极为特殊的情形,很难求出它的精确解,因此数值解或近似解受到了众多研究者的极大关注.本文我们研究了小波分析在积分和微分方程中的应用。全文共分四章:第一章介绍了小波分析的基础理论.包括小波和小波变换的定义、性质,一维、二维多尺度分析和小波基,还有小波的一些应用。最后简单介绍了一下积分和微分方程的发展及研究现状。第二章提出了第一类Fredholm积分方程的的改进算法——线性Legendre多小波-Galerkin方法,用正交小波基把积分方程离散化为线性方程组,再对线性方程组迭代求解。由于小波的正交性稀疏了系数矩阵,使得本文提出的改进方法计算量更少,而解的精度几乎不受影响。并且,我们给出了二个数值计算例子,给出的二个数值例子的计算结果表明了我们利用的小波基是稳定的而且也说明了采用的多小波-Galerkin方法可以通过较少的运算得到较精确的计算结果。第三章研究了线性Fredholm积分-微分方程的数值解问题,在这章里,我们推导出了CAS小波的积分矩阵算子P,并给出了P的一般形式,通过CAS小波的正交性和积分矩阵算子P把Fredholm积分微分方程转化为一个线性代数方程问题,最后通过数值算例的计算结果表明,我们利用的小波基是稳定的,并且得到较精确的计算结果。第四章我们用变分迭代法求解了n阶积分微分方程的数值解问题,通过变换把这个问题转化为常微分积分方程组问题,再利用我们推导的变分迭代公式有效的求解了这个问题,最后通过数值算例的计算结果表明,并与其他方法HPM（Homotopy perturbation method）相比,我们所采用的方法更简单更有效,在计算时间上更迅速。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 背景介绍
• 1.1 小波分析的由来及发展
• 1.2 Fourier变换
• p（R）（1≤p≤∞）空间'>1.2.1 L_p（R）（1≤p≤∞）空间
• 1（R）上的Fourier变换'>1.2.2 L₁（R）上的Fourier变换
• p（R）（1≤p≤2）上的Fourier变换'>1.2.3 L_p（R）（1≤p≤2）上的Fourier变换
• 1.3 小波分析的理论基础
• 1.3.1 小波定义
• 1.3.2 小波变换
• 1.3.3 多分辨率分析
• 1.3.4 细分函数（Refinable Function）
• 1.4 小波应用
• 1.5 积分微分方程
• 1.5.1 积分方程
• 1.5.2 积分-微分方程
• 第二章 第一类Fredholm积分方程的数值解
• 2.1 引言
• 2.2 多小波
• 2.2.1 多小波的理论
• 2.2.2 线性Legendre多小波
• 2.3 第一类Fredholm积分方程的求解
• 2.3.1 函数的线性Legendre多小波逼近
• 2.3.2 第一类Fredholm积分方程的求解
• 2.4 数值算例
• 2.5 结论
• 第三章 线性Fredholm积分-微分方程数值解
• 3.1 引言
• 3.2 CAS小波及应用
• 3.2.1 CAS小波
• 3.2.2 函数的CAS小波逼近
• 3.3 线性Fredhlom积分-微分方程的求解
• 3.3.1 CAS小波的积分矩阵算子
• 3.3.2 线性Fredhlom积分-微分方程的求解
• 3.4 数值算例
• 3.5 结论
• 第四章 n阶Fredholm积分-微分方程数值解
• 4.1 引言
• 4.2 变分迭代法
• 4.3 同伦扰动法（HPM）
• 4.4 n阶积分-微分方程的VIM解法
• 4.5 数值算例
• 4.6 结论
• 参考文献
• 简历
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