论文摘要
1952年，Duffin和Schaeffer在研究非调和Fourier级数时提出了Hilbert空间框架的概念。1984年，Grossmann发现了框架在小波与Gabor变换中的应用，这一发现引起了人们对框架的广泛兴趣。框架是具有类似于基性质的序列，但不一定是基。特别地，它们可以使Hilbert空间中的元素以一种稳定的方式线性表示出来，由于框架元素可能是线性相关的，因此就失去了作为基的表述唯一性特征，但正是由于这种重复性使得框架在信号和图象处理中有着重要的应用。Banach框架是框架理论的一个新的重要的分支。1991年，Gr（?）chnig将框架概念推广到Banach空间中去，引入了Banach框架。本文中，我们主要研究了Hilbert空间框架和Banazh空间上Banach框架的稳定性问题，全文由四个部分构成。第一节是引言及主要结论。在这一部分中，我们主要介绍了框架的起源、发展和应用，另外介绍了这篇文章的主要结果。第二节是预备知识。该部分我们给出了一些基本概念以及证明主要结论所要用到的几个引理。第三节研究了Hilbert空间框架的稳定性。在本部分中，我们首先举例说明了框架不一定是Riesz基，接着给出了Riesz基与框架的充要条件，然后我们给出了框架扰动的一个形式，最后受相应的基的经典扰动结论，包括Paley-Wiener基的稳定性准则和Kato的扰动定理及文[3]的启发，我们讨论了框架的稳定性，此外还得到了一个推论。第四部分我们研究了Banach空间上Banach框架的稳定性。首先我们举例说明了Christensen的两个关于框架稳定性的结果之间不具有包含关系，接着设X，Y为Banach空间，{xn}n∈N为X的框架，在X，Y间定义了两个算子U1和U2，其中U1为线性同胚，U2为线性有界算子，我们证明了当X中的序列{yn}n∈N在满足一定的条件时，{U1xn+U2yn}n∈N为Y的框架。最后我们通过构建线性同胚以影响框架结构的方法讨论了Banach框架的稳定性。
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