论文摘要
1946年,I.J.Schoenberg系统地研究了一元样条函数,并指出一元3次样条函数的力学观点,即弹性细梁在集中载荷作用下小挠度弯曲变形曲线的数学模型,这也是“样条函数”命名的由来。1957年,J.C.Holladay证明了自然3次样条函数插值的最光滑性质,即自然3次样条插值函数使得梁的弯曲势能取极小。因此,样条函数与力学之间有着天然的联系。1977年,J.Duchon从约束优化角度出发,以泛函的观点对一元样条作了多元推广,满足插值条件并令弯曲能取极小,得到二维情形下的所谓薄板样条（Thin-plate spline）。它本质上已不是分片多项式意义下的样条函数,而是一种径向基函数。1975年,王仁宏教授从分析相邻两片多项式之间光滑性与整除性的关系入手,引入“光滑余因子”及‘协调条件”建立了任意剖分上多元样条的基本理论框架,开创了研究多元样条的代数几何方法。30多年来多元样条已取得丰富的研究成果,但在这一框架下,多元样条与力学的联系尚未建立。随着样条函数在有限元法、CAGD、函数逼近、数据分析、科学与工程计算等领域的广泛应用,建立多元样条的力学背景成为一项值得研究的课题。本文首先从弹性力学及板壳理论出发,建立了多元样条与力学的联系。研究所涉及的剖分包括矩形剖分、1-型三角剖分及一般三向剖分等,外力包括力偶、均布载荷及集中载荷等多种情形,恰反映了多元问题的复杂性。主要成果如下:采用力学分析方法构造性地建立了矩形剖分上一类二元样条空间与薄板纯弯曲之间的对应关系,并指出这一样条函数在剖分线上的一阶光滑性恰好对应薄板在力偶作用下转角的连续性,二阶导数的不连续性恰好对应力偶作用线的两侧内弯矩的间断（符号相反）,内网点上的协调条件则对应薄板真实变形曲面的唯一性或单值性。建立了1-型贯穿三角剖分上一类3次1阶光滑的二元样条与简支多边形薄板弯曲之间的对应关系。这一结果突破了外载荷取常量的限制,而使其成为关于两个坐标的线性函数。该结果等价于边界固定的多边形薄膜在适当分布载荷作用下的变形情况。由一元等距剖分上4次样条函数与分段均布载荷作用下弹性细梁弯曲的关系出发,推广到二元情形,得到正三角剖分上一类特殊的二元样条函数,其表达式恰为胞腔的三条边方程及外接圆方程之积,揭示其中蕴含着黄金分割这一自然界中常见的现象,并对多元样条的变分性质作了初步探讨。非线性非平稳信号处理（或数据分析）是近年来数据分析领域的热点问题。Fourier分析是经典的数据分析方法,要求数据平稳或分段平稳,且只适用于线性系统。小波分析是一种非平稳数据分析方法,但其本质上是一种可调窗Fourier谱分析方法,需要事先选定基函数,一旦选定小波基底,只能用这组基来分析所有的数据,因此小波分析并不是自适应的,也只能用来分析线性系统。HHT（Hilbert-Huang Transform）是一种能适用于非线性、非平稳信号的数据分析方法,由经验模态分解（EMD）及Hilbert谱分析（HSA）两部分组成。这一方法不同于Fourier分析,不是采用预先确定的基函数,而是通过EMD从信号本身分解出一组自适应的基底（固有模态函数,IMF）。因此该方法更适合处理复杂的非平稳信号,但EMD本质上是一个算法,是一种经验性的方法,严格的理论基础尚未建立。HHT数学理论基础的建立及向高维的推广是亟待解决的公开问题。在这一热点领域,本文主要做了如下探索:依据梁的弯曲和随机振动微分方程对随机样条作了更进一步的研究,指出其力学意义。鉴于EMD未能充分考虑数据的随机性,我们尝试用随机样条插值作均值包络,在统计意义下对随机数据进行自适应分析,给出了随机EMD算法,并进行了数值实验。从二元样条与薄板弯曲的关系入手,对二元IMF展开研究,给出了二元IMF及弱IMF的定义,并尝试建立二元固有模态函数（IMF）与平板振动问题或一类偏微分方程解之间的联系。