几何设计与计算中曲线曲面的表示及形状调整方法研究

论文摘要

计算机辅助几何设计（CAGD）主要研究以复杂方式自由变化的曲线曲面,即所谓的自由型曲线曲面,其中参数曲线曲面造型与形状调整是CAGD的一个重要内容。本文主要研究带几何约束的Bezier曲线造型方法；带可调整插值点的多项式样条的设计；扩展的二次B样条的构造与应用；基于函数高阶逼近的带局部形状参数的广义Bezier曲线、广义张量积Bezier曲面的造型与形状修改；利用对称混合函数生成网格的方法。并分别讨论了所构造的曲线曲面的性质,形状参数对曲线曲面形状调整的影响及连续拼接问题。全文共由七章组成。第一章简要介绍计算机辅助几何设计的来源及自由曲线曲面特别是Bezier曲线、曲面,B样条曲线曲面以及NURBS曲线曲面的发展历史,对各种曲线曲面形状调整方法的分类、特点、性质等进行了综述,并对本文主要的研究内容进行介绍。第二章是基于约束优化的Bezier曲线形状调整问题的研究。通过构造带修正向量的Bezier曲线,利用约束优化方法,对控制点进行修正,使形状修改和变形具有更大的灵活性。并进一步讨论了多个几何约束的情况下Bezier曲线的修正。第三章是对三次样条逼近曲线和插值曲线的统一表达式所生成曲线方法的研究。该方法只需调整形状参数的值,就可分别得到B样条曲线和插值曲线。还引入张力参数对曲线进行局部形状修改。同时为了提高曲线的连续阶数将曲线次数提高到四次,得到了与三次多项式样条结构类似的统一表达式。第四章是研究扩展的二次B样条曲线的构造与应用。在对圆锥型曲线的逼近问题上,利用所构造的曲线能较好地反映圆锥型曲线的性质。通过改变形状参数的值可以对曲线进行局部形状调整。并将扩展的二次B样条曲线用于带面积约束的直方图逼近中,由此将二次非均匀B样条曲线的应用范围进一步扩大。第五章是对Bezier曲线曲面的拓展研究,基于一种多节点函数的高阶逼近式,选择形状参数,分别定义带局部目标一、二阶导矢的广义Bezier曲线和在矩形域上定义带局部方向偏导矢的广义张量积Bezier曲面。通过形状参数的调整,能对较高次的Bezier曲线曲面进行有效地修改。还给出广义Bezier曲线曲面的拼接条件及应用。第六章定义并利用对称混合函数,提出带有两个形状参数的u-方向、v-方向的网格曲线生成方法,降低了用优化方法生成网格的复杂度,生成的网格有满意的形状。第七章是对全文工作的总结及对今后将要开展的工作提出我们初步的看法。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 选题背景及意义
• 1.1.1 CAGD的发展历史
• 1.1.2 自由曲线曲面的数学描述方法
• 1.1.3 曲线曲面的设计与修改问题的提出与意义
• 1.2 曲线曲面造型与形状修改方法的研究现状
• 1.2.1 带形状参数的曲线曲面调整方法综述
• 1.2.2 NURBS曲线曲面形状修改方法
• 1.2.3 约束优化的方法
• 1.3 本文的工作及主要研究内容
• 第2章 基于几何约束优化的曲线造型与形状修改
• 2.1 引言
• 2.2 基于单参数点切矢约束的修改
• 2.3 基于位矢和切矢的单参数点约束的修改
• 2.4 多参数点的约束修改问题
• 2.5 数值实例
• 2.6 本章小结
• 第3章 具有可调整插值点的多项式曲线的形状表示
• 3.1 三次逼近曲线和插值曲线
• 3.1.1 逼近曲线与插值曲线的统一表示法
• 3.1.2 逼近与插值统一曲线的性质
• 3.1.3 数值实例
• 3.2 带有张力性质的分段三次曲线
• 3.2.1 张力参数的引入与调整作用分析
• 3.2.2 数值实例
• 3.3 四次逼近曲线和插值曲线
• 3.3.1 四次逼近曲线与插值曲线的统一表达式
• 3.3.2 四次逼近与插值统一曲线的性质
• 3.4 本章小结
• 第4章 扩展的二次B样条在圆锥型曲线和直方图逼近中的应用
• 4.1 扩展的二次B样条的定义
• 4.2 扩展的二次B样条的性质
• 4.3 逼近圆锥型曲线
• 4.4 直方图逼近
• 4.5 本章小结
• 第5章 基于函数逼近的曲线曲面造型与形状调整
• 5.1 引言
• 5.2 广义Bezier曲线
• 5.2.1 广义Bezier曲线的构造
• 5.2.2 广义Bezier曲线的性质
• 5.3 局部形状参数的调整作用
• 5.3.1 目标导矢的可调性
• 5.3.2 目标二阶导矢的可调性
• 5.4 数值实例
• 5.5 对曲线端点行为的控制作用
• 5.6 广义张量积Bezier曲面
• 5.6.1 张量积Bezier曲面
• 5.6.2 张量积Bezier曲面的性质
• 5.6.3 曲面的表示
• 5.6.4 形状参数的调整作用
• 5.6.5 数值实例
• 1连续拼接'>5.7 曲面片的C¹连续拼接
• 1连续拼接'>5.7.1 两张曲面片的C¹连续拼接
• 5.7.2 数值实例
• 1连续拼接'>5.7.3 四张曲面片的C¹连续拼接
• 5.8 本章小结
• 第6章 基于对称混合函数的网格生成
• 6.1 引言
• 6.2 网格边界描述
• 6.3 对称混合函数
• 6.4 网格生成
• 6.5 数值实例
• 6.6 本章小结
• 第7章 本文的工作回顾和展望
• 7.1 工作回顾
• 7.2 工作展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士学位期间发表论文
• 攻读博士学位期间主持和参加的科研项目