关于不适定问题的迭代Tikhonov正则化方法

论文摘要

不适定问题的来源相当广泛,包括病态线性方程,物性探测,扫描成像,逆时反演等多个领域,特别是许多反问题是不适定的.本文介绍了不适定问题正则化的一般理论,重点讨论了求解不适定问题Kx=y （0.0.1）的迭代Tikhonov正则化方法及其扰动方程.这里K是无穷维Hilbert空间X到Y的线性紧算子,文中将参数α取为固定常数（α>0）,这时迭代次数m起到正则化参数的作用.在实际中,这种方法比将α看作正则化参数更容易计算.文章推导出正则滤波函数的性质,给出正则化参数m的先验估计m=m（α,δ）=O（αδ-2/2r+1）,r≥0.应用停止准则给出后验估计,证明了误差估计的收敛阶达到最优.数值例子分别验证了先验估计和后验估计的理论结果，由数值结果可以看出,这种以m为正则化参数的迭代Tikhonov方法的误差精度远远高于一般Tikhonov方法和Landweber迭代方法.文章主要结论如下：定理1由方程（0.0.2）得到的滤波函数q（m,μ）=1-（α/α+α2）m,m=1,2,…是正则滤波函数.定义有界线性算子Rαm：Y→X是正则化策略并且‖Rαm‖≤（?）.定理2（先验估计）K：X→Y线性紧算子.（ⅰ）由（0.0.4）定义的有界限性算子Rαm：Y→X是正则化策略,并且‖Rαm‖≤（?）·xα,δm=Rαmyδ由扰动方程（0.0.3）迭代产生,每一个m（α,δ）→∞（δ→0）且δ2m（α,δ）→0是容许的.（ⅱ）如果x=（K*K）rz∈（K*K）r（X）,‖z‖≤E,0<c1<c2,取α>（r/c1）（δ/E）2/2r+1.则对每一个m（α,δ）满足c1α（E/δ）2/2r+1≤,m（α,δ）≤c2α（E/δ）2/2r+1,都有如下估计式其中c>0是依赖于c1,c2,r的常数.定理3K：X→Y是一对一的线性紧算子.令τ>1且yδ∈Y,满足‖y-yδ‖≤δ,‖yδ‖≥τδ.序列xαm,δ=Rαmyδ由迭代方程（0.0.3）产生,其中m=0,1,2,….则有以下结论：（ⅰ）（?）‖Kxαm,δ-yδ‖=0,（?）δ>0.即存在最小整数m=m（δ）∈N0,满足‖Kxαm,δ-yδ‖≤τδ.（ⅱ）δ2m（δ）→0,δ→0.即m（δ）的选取是容许的,所以xαm（δ）,δ收敛到准确解x.定理4（后验估计）满足定理3中的全部条件,选取α>α0.当x=（K*K）rz∈（K*K）r（X）,‖z‖≤E有下面误差估计式其中C>0为常数,即根据此停止准则所选取的m（δ）使收敛阶达最优.

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 符号说明
• 第一章 引言
• 第二章 正则化参数为m的迭代Tikhonov正则化方法
• §2.1 迭代Tikhonov正则化方法
• §2.2 正则滤波函数
• §2.3 先验估计
• §2.4 后验估计
• 第三章 数值例子
• §3.1 先验估计的例子
• §3.2 后验估计的例子
• 参考文献
• 致谢
• 发表论文目录
• 学位论文评阅及答辩情况表