一般g-期望的收敛定理

论文摘要

本文探讨无穷水平上倒向随机微分方程以及g—期望的一些性质,给出了一般g—期望的定义,并证明了一般g—期望满足Levi定理、Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。倒向随机微分方程（简记为BSDE）最早是由Pardoux和Peng在文献[9]中介绍的。正向随机微分方程的解是将今天的确定状态（初始条件）变为明天的一般是不确定的状态,以研究其统计规律;而倒向随机微分方程的解将明天的（一般可以是不确定的）目标变为今天的确定状态,以制定今天的决策。如今倒向随机微分方程的理论已经被广泛的接受并应用,除了因为其理论本身所特有的系统而有趣的性质之外,还因为发现了重要的应用前景:它提供了一个解决数学金融问题的一个有效的框架,如在[2]中El Karoui和Quenez发现金融市场的许多重要的衍生证券（如期权期货等）的理论价格可以用倒向随机微分方程解出;在[10]中Duffie和Epstein发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好（即效用函数理论一这是计量经济学的基础）:彭在[11]中通过倒向随机微分方程获得了非线性Feynman-Kac公式,从而可以用来处理诸如反应扩散方程和Navier—Stokes方程等众所周知的重要非线性偏微分方程组。Peng在文献[1]中首先提出了g—期望和条件g—期望的概念,随后Peng,Briand,Coquet等人又研究了g—期望和条件g—期望的一些性质,并成功把这些性质推广到非线性数学期望上,取得了令人瞩目的成果。作为对倒向随机微分方程理论的推广,陈增敬和王博在文献[7]中证明了无穷水平上倒向随机微分方程的解的存在唯一性,并通过方程的解给出了此时的g—期望的定义。在文献[6]中对于一般的可积随机变量陈增敬用另一种方式定义了它的g—期望:不是通过解相应的倒向随机微分方程,而是利用算子延拓,将彭给出的平方可积随机变量的g—期望延拓到可积随机变量空间上。结合上述两个结果,钱静静等在文献[8]中用类似的方法将[6]中的结果推广到了无限时间区间上,推广了g—期望的定义。比较定理是倒向随机微分方程理论的一个经典结果,它是在peng[12]的基础上在Pardoux-Peng[13]和El Karoui-Peng-Quenez[2]中归纳出来的。该定理的作用是:当可以比较两个不同倒向随机微分方程的终值条件及其生成因子时,利用该定理我们可以比较它们的解。本文中应用类似彭的证明方法证明了无穷时间区间倒向随机微分方程的比较定理。有了上边的内容作为基础,本文给出了一般g—期望的定义,并简单证明了它的一些性质,利用这些性质及经典收敛定理的证明方法,给出了一般g—期望的3个收敛定理的证明。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 符号说明
• 第一章 引言
• 1.1 问题的提出
• 1.2 主要研究内容
• 第二章 基本假设
• 第三章 倒向随机方程及g—期望
• 3.1 BSDE
• 3.2 g—期望
• 第四章 一般g—期望
• 1（Ω,F,P）空间上的g—期望'>4.1（?）¹（Ω,F,P）空间上的g—期望
• 4.2 无穷水平上的g—期望
• 4.3一般g—期望
• 第五章 收敛定理
• 参考文献
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表