分数阶微分方程的数值解法

论文摘要

本课题首先简要介绍了分数阶算子的定义,并将其引入热传导方程模型,分别对空间项和时间项的导数进行分数阶处理,建立了时间-空间分数阶导数的流动模型,将建立的模型进行网格差分,写出模型的隐式差分格式,并且证明算法的收敛性、稳定性;结合实例,编程求出模型的数值解,绘制温度场的曲线图,分析了分数阶导数在空间和时间上对温度场的影响。结果表明温度场对分数阶导数的阶数具有较强的敏感性。论文又将分数阶算子应用到分形油藏中,考虑边界和初值条件,分别建立了时间分数阶流动模型的隐式和显式差分格式,证明两种算法的稳定性和收敛性,并利用有限差分方法得到了数值解;同时也建立了时间-空间分数阶流动模型的隐式差分格式,讨论稳定性和收敛性,并且编程得到数值解。在上述三种模型中,分别对无穷大地层定产量和有界地层定产量生产的情况进行了讨论。针对取值不同的时间和空间分数阶导数绘出典型压力曲线图,分析压力动态特征,讨论了时间分数阶、空间分数阶和谱维数变化时的压力变化规律,这些结果可为分形油藏开发提供理论依据。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 1.1 课题提出背景及研究意义
• 1.2 分数阶的基本定义
• 1.3 国内外研究现状
• 1.4 本文的主要工作
• 第二章 分数阶热传导方程的数值解法
• 2.1 隐式差分格式
• 2.2 数值求解
• 2.3 稳定性和收敛性分析
• 2.4 数值例子和结果分析
• 第三章 分形油藏时间分数阶流动模型
• 3.1 分形油藏基本概念
• 3.2 流动方程和一般模型
• 3.2.1 具有时间分数阶导数的流动方程
• 3.2.2 分形油藏一般模型
• 3.3 无穷大地层定产生产模型
• 3.3.1 定解问题
• 3.3.2 隐式差分格式
• 3.3.3 隐式差分格式的稳定性和收敛性
• 3.3.4 显式差分格式
• 3.3.5 显式差分格式的稳定性和收敛性
• 3.3.6 数值结果及压力动态分析
• 3.4 有界地层定产生产模型
• 3.4.1 定解问题
• 3.4.2 隐式差分格式
• 3.4.3 显式差分格式
• 3.4.4 数值结果及压力动态分析
• 第四章 分形油藏时间-空间分数阶流动模型
• 4.1 流动方程和一般模型
• 4.1.1 具有时间和空间分数阶导数的流动方程
• 4.1.2 分形油藏一般模型
• 4.2 无穷大地层时间-空间分数阶流动模型
• 4.2.1 定解问题
• 4.2.2 隐式差分格式
• 4.2.3 隐式差分格式的稳定性和收敛性
• 4.2.4 数值结果及压力动态分析
• 4.3 有界地层时间-空间分数阶流动模型
• 4.3.1 定解问题
• 4.3.2 隐式差分格式
• 4.3.3 数值结果及压力动态分析
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间取得的学术成果
• 致谢