论文摘要
在本文中，我们主要研究Steinberg李代数st（n，R）和Steinberg李超代数st（m，n，R）的泛中心扩张问题，也就是要计算它们的二阶同调群H2（st（n，R））以及H2（st（m，n，R））的结构．Steinberg李代数st（n，R）及其泛中心扩张等问题被Bloch[Bl]，Kassel-Loday[KL]，Kassel[Ka]，Faulkner[F]，Allison-Faulkner[AF]，Berman-Moody[BM]，Gao[G1，2]和Allison-Gao[AG]等人做过许多研究．这些研究与根系分次李代数以及代数K-理论等方向都有紧密的联系．在多数情形下Steinberg李代数st（n，R）都是特殊线性李代数st（n，R）的泛中心扩张，且扩张的核同构于R的第一循环同调群H1（R）且有H2（st（n，R））=0．在[Bl]和[KL]中，已经证明了当n≥5时，有H2（st（n，R））=0．在本文的第3章中，我们计算出了当n=3，4时，H2（st（n，R））的结构，看到它不一定为零，当K的特征较小时．由此，我们得到本文的第一个主要定理．定理1：设K是一个含么的交换环，而R是一个含么的结合的K-代数．假设R有一组K-基包含了单位元．那么有这里，对K上结合代数R，Rm（m∈N∪{0}）的定义详见第3章的第2节．类似于Steinberg李代数st（n，R）的理论，A．V．Mikhalev和I．A．Pinchuk在[MP]中研究了Steinberg李超代数st（m，n，R），它是特殊线性李超代数sl（m，n，R）的一个中心扩张．他们在文中证明了当m+n≥5时，st（m，n，R）是st（m，n，R）的泛中心扩张，且中心扩张的核同构于（HC1（R））0（?）（0）1．在本文中，我们将看到，有必要对中心扩张核的Z2-分次做一下强调．在本文的第4章中，我们研究了当m+n=3，4时的情形，这又可以分为三种情形m=2，n=1，m=3，n=1和m=2，n=2．文中分别计算了这三种情形时H2（m、n，R）)的结构，得到本文的第二个主要定理．定理2：设K是一个含么的交换环，而R是一个含么的结合的K-代数．假设R有一组K-基包含了单位元．那么有这里，H2（st（m，n，R））是一个Z2-分次空间．