两类L-函数的Riesz均值估计

论文摘要

L-函数是一种生成函数,它们或者来源于算术、几何对象（比如定义在一个数域上的椭圆曲线）,或者来源于自守形式.根据Langlands纲领,任何一个一般的L-函数都可以分解为GLm/Q上的自守表示的L-函数的乘积,并且对于任何自守表示的L-函数,Ramanuj an-Petcrsson猜想都成立.因此对于L-函数的研究具有非常重要的理论意义.在本文中,我们将考虑两类L-函数,即spinor zcta函数和二次对称幂L-函数.我们将研究它们的系数的Ricsz均值估计.在介绍本文的结果之前,我们先给出Ricsz均值的定义.设{cn}是复数列,定义Dirichlct级数函数z（s）称为{cn}的生成函数.{cn}的Riesz均值定义为其中p≥0.这里∑’表示如果p=0,且当x是一个整数时求和公式中的最后一项是cx/2,而不是cx.Ivie,Matsumoto和Tanigawa在文献[16]中研究了如下定义的Rankin-Sclbcrg级数（参见文献[34,37]）其中ζ（s）是Ricmann zeta函数,α（n）是SL2（Z）上全纯尖形式f的Fourier系数.易知由Delignc的上界（参见文献[6]）,我们有|a（n）|≤n（к-1）/2τ（n）.这里τ（n）是除数函数.因此我们有在文献[16]中,作者将Ricsz均值（0.0.1）表示成一个由留数产生的主项和余项之和的形式,即其中π2кR0/6是函数Z（s）在简单极点s=1处的留数.随后,他们给出余项△,（x；f）（0≤p≤1）的Voronoi求和公式,以及△p（x；f）在p=1时的二次均值公式.后来,Ivic在文献[18]中研究了△1（x；f）的四次均值,并得到了这个均值的一个上界估计.在文献[40]中,作者进行了更深入的研究,改进了Ivic的结果,并给出了高次均值估计的渐近公式.借鉴文献[16,18,40]中的思想和方法,在本文中我们将研究spinor zeta函数和二次对称幂L-函数的Riesz均值,并得到高次均值估计.在本文的第一章中,我们将介绍spinor zeta函数.设rg是亏格为g的Sicgcl模群.定义Sк（r9）是由Г9上权为к亏格为g的Siegcl模形式全体构成的空间.对于F∈Sк（rg）,我们假设F是所有Heckc算子的特征函数,即我们定义其中α1,p,…,αg,p为Satakc p-参数.对SRs》0,定义称ZF（s）为spinor zcta函数.本文考虑g=2的情形.为了使ZF（s）有好的解析性质,我们总假设F满足下面的条件之一1.权к是奇数；2.权к是偶数,F∈S*（Г2）⊥,这里S*к（Г2）为&（Г2）的Maass子空间,我们将在引理1.2中给出定义.根据引理1.3在上述假设下,我们知道ZF（s）是整函数,且在s=к—2,к—3,…处为零.由Wcissaucr定理（参见文献[43]中第一章）可知（0.0.2）中的Satakc p-参数的模是1.因此我们有进而可以推得当SRs>к一1/2时,spinor zcta函数ZF（s）是绝对收敛的.这时我们可以得到下面的Voronoi求和公式.定理1.假设F的亏格g=2,且当к是偶数时F是S*к（Г2）⊥中的Siegel模形式.取定p∈(1/2,1]以及自然数N》1.则对于任意的x>1,我们有其中ε是任意小的正数.在下面的定理2中,我们给出了Dp（x；F）的二次均值的渐近公式.定理2.在定理1的假设下,我们有其中在第三章中,我们还将进一步研究Dp（x；F）的高次均值,并得到如下结论.定理3.在定理1的假设下,如果存在一个实数A0>3使得则对满足3≤h<A0的任意整数,我们有下面的渐近公式其中Bp（h；f）与δp（h,A0）分别由（1.3.3）和（1.3.4）式给出定义.定理4.当p=1时,（0.0.3）对A0=16/3成立.因而当h=3,4,5时,有渐近公式其中λ。（h,A0）由（1.3.5）式定义.用证明定理4的方法,当1/2<p<1时,我们未能给出（0.0.3）中的A0的值.本文考虑的另一类函数是二次对称幂L-函数.令f（z）是完全模群SL2（z）上的权为偶数к的全纯尖形式.在文献[10,11]中,Fomenko考虑了二次对称幂L-函数的Riesz均值问题.其中二次对称幂L-函数定义为记系数λsym2f（n）=cn,则有对任意的∈>0成立,这里τ3（n）是将数n表示为3个自然数乘积的表法个数.定义余项△p（x；sym2f）Fomenko给出了余项△p（x；sym2f）的Voronoi求和公式,以及二次均值的渐近公式.在本文第四章中,我们将进一步给出△p（x；sym2f）的高次均值的渐近公式.定理5.如果存在实数E0：=E0（p）>3,使得成立.则对任意的整数3≤k<E0,我们有下面的渐近公式这里的Cp（k,c）,δ*/p（k,E0）由（1.3.9）和（1.3.11）分别给出,且(O-项依赖于p,k和ε.特别地,当p=1/2时,我们能够证明下面无依赖条件的一个结果.定理6.当p=1/2时,（0.0.4）对E0=6成立.因而当k=3,4,5时,有渐近公式这里的λp/*（k,E0）由（1.3.12）式定义.用证明定理6的方法,当0≤p<1/2时我们未能给出满足（0.0.4）的E0的值.在定理1的证明中,我们主要应用复分析的方法,并利用了zF（s）在带形区域中的凸性上界.定理2的证明需将定理1中的D。（x；F）平方,然后逐项进行积分估计.在定理3的证明中,我们将Dp（x；F）的求和项中满足n≤y,y>Tε的部分和记为R1,剩余部分记为R2.可以证明R2的高次均值很小,因而fT/1Dh/p（x；F）dx可以用fT/1Rh/1dx很好地近似估计,这样得到定理3的结论.在定理4的证明过程中我们用到了大值定理,Kuzmin-Landau不等式和指数对等工具.定理5与定理6的证明过程与定理3和定理4的证明类似.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 符号说明
• 第一章 两类L-函数的简单介绍及主要结果
• 1.1 spinor zeta 函数
• 1.2 对称幂L-函数
• 1.3 主要结果
• 第二章 亏格为2的spinor zeta函数的Riesz均值
• 2.1 Hafner的结果与凸性上界
• 2.2 spinor zeta函数Riesz均值的Voronoi公式
• 2.3 定理2的证明
• 第三章 高次均值的渐近公式
• 3.1 几个基本引理
• 3.2 定理3的证明
• 3.3 定理 4的证明
• 第四章 对称幂L-函数的Riesz均值
• p（x;sym²f）的高次均值的估计'>4.1 Δ_p（x;sym²f）的高次均值的估计
• 1/2（x;sym²f）的高次均值的渐近公式'>4.2 Δ_1/2（x;sym²f）的高次均值的渐近公式
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士学位期间完成论文情况
• 学位论文评阅及答辩情况表