论文摘要
对矩阵A的奇异值，特别是最小奇异值的下界估计，是矩阵分析中的重要课题。在迭代求解线性方程组时，我们往往需要估计矩阵A的谱条件数：其中最小奇异值的下界估计σn（A）是一个关键的数。σn（A）的下界在其他的许多领域中都是一个极重要的课题，因而最小奇异值的下界估计一直是普遍关注的问题，有很重要的理论和实际应用价值。本文主要研究了矩阵奇异值的一些不等式及最小奇异值的下界估计，两个Hermite矩阵之和的特征值。全文共分为四章。第一章是对目前国内外研究现状的一个描述。第二章我们给出非奇异矩阵A的奇异值从大到小排列为如下形式：σ1（A）≥σ2（A）≥L≥σn（A）＞0，令1≤k≤l≤n，利用代数—几何均值不等式以及σ12（A）+σ22（A）+L+σn2（A）=‖A‖F2，σ1（A）σ2（A）Lσn（A）=|det A|。给出矩阵奇异值σk（A）+L+σ1（A）与σk（A）Lσ1（A）的界的一些不等式如下：定理2．3设A∈Cn×n（n≥3）是非奇异的，且1≤k≤l≤n，则≤σkl（2．6）定理2．5设A∈Cn×n（n≥3）是非奇异的，且1≤k≤l≤n-1，则≤σkLσ1（2．7）定理2．6设A∈Cn×n（n≥3）是非奇异的，且1≤k≤l≤n，则≤σkl（2．9）而这些不等式仅仅用到k，l，n，矩阵的行列式和Frobenius范数，最后我们用一些具体的例子来说明这些不等式的优越性。第三章我们首先基于矩阵的行列式和Frobenius范数给出非奇异矩阵A的最小奇异值的下界估计式当‖A‖F2=n时，我们给出如下结论，在此结论的基础上，我们令B=DA，其中矩阵A为任意非奇异矩阵，D=diag〔1/r1（A），1/r2（A），L，1/rn（A）〕，给出矩阵A的又一个最小奇异值的下界估计式其中Sc=multiply from i=1 to n 1/ci（A）[1+1/n〔n-1/n〕n-1|det A|2〔multiply from i=1 to n〕1/ci（A）2]n-1/2，Sr=multiply from i=1 to n 1/ri（A）[1+1/n〔n-1/n〕n-1|det A|2〔multiply from i=1 to n〕1/ri（A）2]n-1/2。最后我们结合一些例子来说明这些估计式的优越性。第四章给定两个Hermite矩阵A，B以及它们的特征值，给出了乘积矩阵AB的迹的一些不等式，进而得到矩阵之和A+B的一些特征值不等式。