统计决策观点下线性模型参数估计优良性研究

论文摘要

最小二乘法是一种非常重要的估计方法，它反映了估计量与数据的拟合程度。最小二乘估计求解方便，形式简洁。著名的Gauss-Markov定理表明，最小二乘估计在线性无偏估计类中方差最小。这些性质奠定了最小二乘估计在参数估计和应用中的重要地位。近二十年来，很多统计学家从各个不同角度对Gauss-Markov定理进行推广，研究最小二乘估计在各种意义下的优良性。这些推广不仅在统计的理论和应用上有十分重要的意义，而且具有数学美。另一方面，人们又在各种不同模型中研究对最小二乘估计的改进，提出许多新的估计来。本论文在统计决策理论的框架下，研究最小二乘估计的优良性及其改进估计。首先从误差项的分布出发，研究线性模型中最小二乘估计的稳健性，给出使得Gauss-Markov定理成立的最大误差分布类，对Gauss-Markov定理进行推广。接着从概率集中性角度，给出了各种约束条件下的最小二乘估计，并讨论了它的优良性，它比（无约束时的）最小二乘估计概率更为集中。本论文还讨论了正态线性模型误差方差的区间估计在覆盖率、区间长度与区间的（上、下）端点比上的改进。论文共分四章，主要内容概述如下： 第一章首先简单介绍线性模型中最小二乘估计的有限样本优良性研究进展。其次，本文多处假设误差向量服从椭球等高分布，作为预备知识，我们回顾了椭球等高分布的定义，总结了其重要性质。再次，本章介绍了比较估计优良性的集中概率准则，它是比均方误差准则更强的比较估计优劣的标准。最后，介绍了非对称损失函数和平衡损失函数。 第二章考察最小二乘估计的稳健性。对于线性模型 y=Xβ+ε，其中y为n×1观测向量，X为n×p的设计矩阵，β为p×1的未知参数向量，ε为n×1的随机误差向量。Kariya和Kurata（2002）研究了回归系数β的最小二乘估计的优良性，对Gauss-Markov定理作了推广，讨论了使得推广的Gauss-Markov定理成立的误差分布的最大类。受Kariya和KurataI作的启发，考虑当X为列降秩，即rank（X）=r＜p时，Xβ的最小二乘估计关于误差分布的稳健性。直观地讲，稳健性是指统计推断关于统计模型（即假设条件）具有相对稳定性。本文讨论误差项的均值和协方差阵在何种范围内变动时，最小二乘估计在均方误差阵最小的意义下仍然是最优估计，并给了误差分布的最大类。对误差项ε服从椭球等高分布的情形，在一定条件下，分别在线性无偏估计类以及同变估计类中，证明了广义最小二乘估计关于协方差阵和损欠函数同时具有稳健性。 第三章研究了未知参数β满足线性约束的线性回归模型中最小二乘估计的优良性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT（英文摘要）
• 第一章 绪论
• §1.1 线性模型中最小二乘估计的小样本优良性研究进展
• §1.2 椭球等高分布
• §1.3 随机序与集中概率准则
• §1.4 非对称损失函数及平衡损失函数
• §1.5 本文的主要工作
• 第二章 最小二乘估计的稳健性
• §2.1 关于稳健性的讨论
• §2.2 最小二乘估计关于误差分布的稳健性
• §2.3 最小二乘估计关于协方差阵和损失函数的稳健性
• 第三章 约束线性模型中约束最小二乘估计的优良性
• §3.1 线性等式约束下约束最小二乘估计的优良性
• §3.2 多元分布的概率集中不等式
• §3.3 线性不等式约束下保序回归估计的优良性
• 第四章 正态线性模型误差方差的区间估计改进
• §4.1 引言
• §4.2 误差方差常用最短长度区间估计的改进
• §4.3 误差方差的常用一致最精确无偏置信区间的改进
• §4.4 关于误差方差改进区间估计的进一步讨论
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 在学期间的研究成果及发表的论文