曲线与控制多边形之间偏差的界的研究

论文摘要

包围盒技术在计算机图形学（CG）、计算机辅助几何设计（CAGD）和计算机动画等应用领域中都有着非常重要的作用。随着这种技术的广泛应用,尤其是在线线求交、面面求交、光线与曲线曲面的求交等方面的重要作用,对缩小包围盒的要求也十分的迫切。本文在研究了以往关于曲线曲面与控制多边形及控制网格之间偏差界的基础上,提出了一种新的算法,缩小了原有的曲线与控制多边形之间偏差的界。 本文首先介绍了包围盒的概念和研究现状,指出了对曲线曲面与控制多边形及控制网格之间偏差的界的研究的必要性。 第二章对曲线曲面的发展及基本概念作了比较简短的概括性介绍,阐明了曲线曲面的性质是研究曲线曲面与控制多边形及控制网格之间偏差的界的重要基础。 第三章首先介绍了差分及向量范数的概念,然后详细说明了Bézier曲线和它的控制多边形之间的最大偏差被包围在由控制点序列的差分和一个仅与多项式阶数有关的常数决定的界内。对于各种范数和差分的次数来说,这里得出的这些常数,都有最小的可能。最后分别介绍了一元多项式、张量积多项式、一元样条和张量积样条同相应的控制多边形或者控制网格之间偏差的界,给出了Lp-norm范数空间下,根据控制顶点序列的最大绝对二阶差分得出的界。 第四章详细分析了控制点的最大绝对二阶差分对界的影响。对于曲线段和控制多边形之间的集合的距离,控制点最大绝对二阶差分和相应的常数决定的偏差的界是精确的上界,并且在大多数情况下最小,效果最佳。以三次Bézier曲线和控制多边形之间偏差的界为例,分析了不同的范数空间和曲线形状对界的影响。给出了控制点固定时,不同范数空间得到的界的大小比较,及其不同形状的曲线如何选择适当的范数空间才能使曲线与控制多边形之间偏差的界最小。在无穷范数空间的基础上提出了一种新算法,由新算法得出的界比原有的界更紧凑,并图示说明了该结论。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景和意义
• 1.2 本文相关工作的研究现状
• 1.3 主要贡献
• 1.4 各章安排
• 第二章 曲线曲面的定义与性质
• 2.1 Bezier和B样条曲线曲面的发展简介
• 2.2 Bezier曲线曲面
• 2.2.1 Bezier曲线的定义与性质
• 2.2.2 Bezier曲面的定义和性质
• 2.3 B样条曲线曲面的定义和性质
• 第三章 曲线曲面的界
• 3.1 差分的定义
• 3.2 向量范数及常用范数
• 3.3 曲线曲面的界
• 3.3.1 多项式与控制多边形之间偏差的界的原理
• 3.3.2 一元多项式与控制多边形之间的界
• 3.3.3 张量积多项式与控制网格之间偏差的界
• 3.3.4 一元样条与控制多边形偏差的界
• 3.3.5 张量积样条与控制网格之间偏差的界
• 第四章 最佳界的选择
• 4.1 不同范数空间下的界
• ∞——范数表示的界'>4.1.1 由L_∞——范数表示的界
• 1——范数表示的界'>4.1.2 由L₁——范数表示的界
• 2——范数表示的界'>4.1.3 由L₂——范数表示的界
• ∞——范数表示的界'>4.1.4 由一阶差分和L_∞——范数表示的界
• 4.2 选择参数的准则
• 4.3 举例说明
• 4.4 对原有的界进行改进
• 总结
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表的主要学术论文
• 学位论文评阅及答辩情况表