关于MNLS方程和DNLS方程的研究

论文题目: 关于MNLS方程和DNLS方程的研究

论文类型: 博士论文

论文专业: 理论物理

作者: 蔡浩

导师: 黄念宁

关键词: 非线性方程,暗孤子,微扰理论,哈密顿理论

文献来源: 武汉大学

发表年度: 2005

论文摘要: 众所周知,非线性薛定谔（NLS）方程能够很好的描述皮秒脉冲在光纤中的传播,而对超短脉冲则需要引入修正的非线性薛定谔（MNLS）方程来进行讨论。MNLS方程在NLS方程的基础上,包含一个自变陡项来描述超短脉冲输出的不对称性。反常色散的MNLS方程在零边值条件下已经通过反散射变换（IST）方法或其他一些方法进行了求解,而非零边值条件下的正常色散MNLS方程（MNLS+）的解则至今没有得到。另一方面,在等离子体的研究中,导数非线性薛定谔（DNLS）方程则被用来描述非线性阿芬波（Alfvén wave）。其在零边值条件下的解是Kaup和Newell在1978年首先使用反散射方法给出的,后来Kawata等学者采用其他的方法也给出了同样的结果。与MNLS方程一样,非零边值条件下导数非线性薛定谔（DNLS+）方程的求解问题也一直没有得到解决。Kawata等学者作了一些这方面的工作,他们采用的方法是根据Jost函数的渐进行为引入一个相函数,从而避开在使用反散射方法求解DNLS+方程时所遇到的发散困难。但这种方法存在的问题也是很显然的,引入的相函数是一个包含方程解的积分,在解没有定出来的情况下,这个相函数也就没有办法确定,进而无法得到暗孤子解的具体表达式。由于MNLS方程和DNLS方程的应用价值,尤其是MNLS方程在非线性光学中的应用,它们在非零边值条件下的求解在物理上是很重要的工作。另外,在物理上有意义的1+1维非线性可积方程只有很少几个至今没有解出,MNLS+方程和DNLS+方程就是其中很典型的两个,它们的求解在数学物理上也有比较重要的意义,同时也值得我们花费力气解决这个问题。为了解决反散射变换中Cauchy积分在谱参数平面的无穷远处和零点处发散的困难,在引入affin参数的基础上,我们尝试修改了反散射变换的形式,在Cauchy积分中除以了κ=1/2(ζ-ρ2ζ-1),这样就解决了无穷远处和零点处发散的问题,但在实轴上引入了两个新的极点。经过仔细考虑,在参考了Dodd等学者的工作以后,在无反射情况下我们将这两个极点对Cauchy积分的贡献连同连续谱部分一同丢掉,最后得到了DNLS+方程暗孤子解的精确表达式,并通过计算机直接带入验证了解的正确性,这回过头来有力的说明以上处理方法的合理性。为了与以前的工作对比,我们计算了暗孤子解的模平方,结果是不一样的。能够使用反散射方法成功解决这个问题也显示了反散射方法本身的力量,为了比较全面地解决这个问题,我们在本文的附录中给出了DNLS+方程多孤子解,以供大家参

论文目录:

摘要

Abstract

引言

第一章 MNLS~+方程和DNLS~+方程的求解

1.1 Lax对

1.2 Jost解及其基本性质

1.3 约化变换

1.4 渐近行为

1.5 α(ζ)的具体表示

1.6 萨哈洛夫-沙巴特反散射方法

1.7 暗的单孤子解

1.8 单孤子解的验算

1.9 MNLS~+方程的暗孤子解

第二章 DNLS方程的直接法微扰理论

2.1 微扰的DNLS方程和其线性化方程

2.2 使用平方谱参数κ的平方Jost函数

2.3 伴随平方Jost函数

2.4 正交关系

2.5 单位矩阵的展开

2.6 完备性

2.7 久期条件

2.8 耗散效应(例)

第三章 DNLS~+方程的哈密顿理论

3.1 泊松括号

3.2 单式矩阵的变分

3.3 单式矩阵的泊松括号

3.4 不含δ函数的部分

3.5 ζ为实数的情况

3.6 ζ为虚数的情况

3.7 泊松括号

3.8 连续谱情况的作用变量和角变量

3.9 分离谱情况下的作用变量和角变量

3.10 守恒量

附录A DNLS~+方程暗的多孤子解

A.1 α(ζ)及其零点

A.2 反散射变换

A.3 矩阵表达

A.4 暗的多孤子解

附录B 格林函数

附录C 单式矩阵的直积

结论

参考文献

致谢

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发布时间: 2006-03-27

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