解线性方程组Galerkin方法收敛性质的研究

论文摘要

本文研究求解大型线性方程组Galerkin类方法的收敛性质,包括:重新开始FOM算法的补足收敛性质及其应用;预处理CG算法的误差递减性质。由于执行整体FOM算法的计算成本会随着迭代步数的增加而变得不可接受,在实际求解问题时一般会使用重新开始的FOM算法。传统观点认为,FOM算法前次迭代循环所累积的信息,比如Krylov子空间基向量之间的正交性等,在重新开始时会被完全抛弃。针对这一问题,本文给出另外一种看法。第二章描述和研究了重新开始FOM算法的补足收敛性质。基于FOM残量多项式与Arnoldi过程中Ritz向量之间一个联系,揭示了在FOM算法每次重新开始时,前次迭代循环的一些重要信息能够被自动保留在迭代解中,使得下次迭代循环能够与前一循环相互协调、补足,达到一种平衡。第三章基于重新开始FOM算法的补足收敛性质,设计了求解线性方程组问题的积混合FOM算法和求解矩阵特征值问题的Arnoldi-FOM算法。CG算法由于编程简单、效率出色并且误差按照A-范数满足极小化性质,已成为求解对称正定方程组问题最著名的方法之一。如果与NR/NE技术相结合,CG算法也能够用于求解非对称线性方程组问题。现有的文献证明了CGNR算法的误差按照Eculidean范数是递减的。但由于NR/NE技术的应用会显著增加系数矩阵的条件数,对这样的方程组进行预处理往往是必须的。本文第四章建立并证明了预处理CG算法的误差递减性质,即当预处理矩阵M也是对称正定时,算法误差按照M-范数满足递减性。基于这一性质分别论述了预处理CGNR算法和预处理CGNE算法的误差递减性质。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景
• 1.2 研究内容
• 第二章 FOM 算法的补足收敛性质
• 2.1 Arnoldi 过程
• 2.2 FOM 算法的补足收敛性质
• 2.3 数值试验
• 2.4 本章小结
• 第三章 FOM 算法补足收敛性质的应用
• 3.1 解线性方程组的混合迭代格式
• 3.2 解方程组的积混合FOM 算法
• 3.3 解特征值问题的 Arnoldi-FOM 算法
• 3.4 数值试验
• 3.5 本章小结
• 第四章 预处理 CG 算法的误差递减性质
• 4.1 预处理 CG 算法
• 4.2 理论结果
• 4.3 本章小结
• 第五章 总结与展望
• 5.1 总结
• 5.2 展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表的论文