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光滑度量测度空间与调和Ricci流上的几何分析

2020-12-28阅读(260)

光滑度量测度空间与调和Ricci流上的几何分析

论文摘要

本文主要研究了在光滑度量测度空间上和调和Ricci流下一些量化的几何分析,包括非线性扩散方程和调和方程的梯度估计,熵单调公式,特征值估计,微分Harnack不等式以及变分公式.所用到的工具有最大值原理,Moser迭代,Bochner技巧等.具体内容如下：第一章是前言部分,介绍了本文所研究问题的动机、背景和进展,以及一些本文将要讨论的问题.第二章是预备知识,包括在证明过程中涉及的概念以及基本公式,如Bakry-Emery Ricci曲率,加权的Bochner公式以及调和Ricci流的一些变分公式.第三章是本文的主要部分,考虑了三类非线性扩散方程：多孔介质方程和快速扩散方程、p-Laplacian热方程以及双重退化扩散方程.首先在光滑度量测度空间中,在m-Bakry-Emery Ricci曲率下有界条件下,对于加权多孔介质和快速扩散方程,分别证明了整体和局部Aronson-Benilan型估计与Hamilton型椭圆估计;其次当rn-Bakry-Emery Ricci曲率非负时,我们得到了加权p-Laplacian热方程解的最优梯度估计和Perelman型熵单调公式,同时给出了加权p-调和函数的局部梯度估计和加权p-Laplacian算子的第一特征值估计；最后在一般的黎曼流形上,对于双重退化扩散方程,我们也证明了最优整体梯度估计和熵单调公式,在加权情形可以得到类似的结果.第四章我们讨论了几何分析中不同类型的单调公式,并且将Colding最近关于调和函数的三个椭圆单调公式推广到了f-调和函数的情形.第五章首先回顾了微分Harnack估计的研究进程,然后给出了一类半线性抛物方程在调和Ricci流下的Li-Yau-Hamilton不等式以及插值和限制性Harnack估计,同时得到了梯度调和Ricci孤立子的第二变分公式与在调和Ricci流背景下的平均曲率流,其广义加权Gibbons-Hawking-York泛函的第一变分公式.

论文目录

  • 博士生自认为的论文创新点
  • 摘要
  • ABSTRACT
  • 目录
  • 第一章 引言
  • 1.1 研究背景与动机
  • 1.2 研究进展
  • 第二章 预备知识
  • 2.1 光滑度量测度空间
  • 2.1.1 Bakry-Emery Ricci曲率
  • 2.1.2 加权Bochner公式与比较定理
  • 2.2 调和Ricci流基本变分公式
  • 第三章 三类非线性扩散方程的梯度估计与熵单调公式
  • 3.1 引言及主要结果
  • 3.2 多孔介质方程与快速扩散方程
  • 3.2.1 一些引理
  • 3.2.2 加权多孔介质方程的Aronson-Benilan型估计
  • 3.2.3 加权快速扩散方程的Hamilton型椭圆估计
  • 3.3 p-Laplacian方程
  • 3.3.1 非线性p-Bochner公式
  • 3.3.2 Li-Yau型梯度估计
  • 3.3.3 熵单调公式
  • 3.3.4 加权p-调和函数的局部梯度估计
  • 3.3.5 加权p-Laplacian算子的第一特征值估计
  • 3.4 双重退化扩散方程
  • 3.4.1 最优整体估计
  • 3.4.2 熵单调公式
  • 3.4.3 加权情形
  • 第四章 椭圆单调公式
  • 4.1 引言
  • 4.2 f-调和函数的加权Bochner公式
  • 4.3 由Bakry-Emery Ricci曲率导出的单调公式
  • 第五章 调和Ricci流下的微分Harnack估计与变分公式
  • 5.1 引言及主要结论
  • 5.2 微分Harnack估计
  • 5.2.1 调和Ricci流下的微分Harnack估计
  • 5.2.2 插值和限制Harnack不等式
  • 5.3 调和Ricci孤立子的第二变分公式
  • 5.4 调和Ricci流背景下的平均曲率流
  • 5.4.1 广义加权Gibbons-Hawking-York泛函及其变分公式
  • 5.4.2 调和Ricci流背景下的发展超曲面
  • 参考文献
  • 攻博期间发表的科研成果
  • 致谢

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