右端不连续微分方程理论及其应用

论文摘要

本学位论文首先综合运用微分包含理论、微分方程的扰动理论及微分不等式技巧等把已有的右端不连续微分方程的理论进行了推广和改进.我们讨论的系统以及构造的Lyapunov函数更一般化,所得结果为右端不连续微分方程理论在众多领域中的广泛应用提供了有力的工具.然后,利用右端不连续微分方程理论,分别讨论了具有不连续激励函数的神经网络模型、不连续收获政策下的渔业模型以及不连续治疗策略下的传染病模型的动力学行为.这些结果对于实用稳定的神经网络设计、渔业资源合理有效的可持续开发、传染病的预防和控制都有重要的理论指导意义.全文的内容共分为五章.在第一章中,我们回顾了右端不连续微分方程理论,特别是稳定性理论,的发展状况,以及人工神经网络动力学、渔业动力学和传染病动力学的研究历史.同时也揭示了本论文工作的研究动机和意义.最后,我们简要地介绍了本论文的研究内容.在第二章中,我们讨论两类右端不连续微分方程:右端不连续的常微分方程和时滞微分方程.首先,考察了两类方程在Filippov意义下的解的存在性,延拓性等基本性质.然后,利用推广的链式法则,得到了两类方程多种收敛性和稳定性的准则,并且得到了扰动意义下右端不连续常微分方程鲁棒性的新结果.在第三章中,利用广义的Lyapunov理论、矩阵理论、微分包含的不动点理论以及一些不等式的分析技巧,我们讨论了自治的、周期的和一般非自治的三大类具有不连续激励函数的神经网络的动力学行为.首先,在不需要激励函数有界的条件下,我们研究了一类具有不连续激励函数的时滞神经网络的全局鲁棒稳定性.接下来,去掉以往文献中要用到的激励函数有界和单调不减的假设,获得了一类具有不连续激励函数的周期神经网络的周期解存在性和全局渐近稳定性的新结论.最后,考虑了两类具有不连续激励函数的非周期系数的非自治神经网络模型,主要研究了它们的全局输出收敛性、全局状态收敛性、全局有限时间收敛性等,并得到了一些全新的结论.由于放松甚至去掉了已有文献中的一些约束条件,我们的结果是对已有结果的改进和推广.在这一章中,还给出了大量的数值例子来验证我们结果的有效性.在第四章中,我们研究了一类不连续收获策略下渔业模型的动力学行为.利用广义Lyapunov方法和变结构控制理论等工具,得到了模型局部稳定性、全局稳定性以及滑模存在的准则.从经济学以及可持续发展的观点,对所获得的结果给出了合理的解释.这对于渔业资源的管理有一定的参考价值.在第五章中,我们提出了一类不连续治疗策略下的传染病模型.利用广义Lyapunov方法和Lasalle不变原理,得到了模型局部稳定性、全局稳定性以及全局有限时间收敛的准则.不连续治疗策略是对已有文献中治疗策略的推广.通过对我们所得结果的生物学解释,可以更好地理解不连续的治疗策略,从而实现对传染病的有效控制和消除.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 符号表
• 第1章 绪论
• 1.1 右端不连续微分方程理论的发展状况
• 1.2 人工神经网络动力学研究的历史简介
• 1.3 渔业动力学研究的历史简介
• 1.4 传染病动力学研究的历史简介
• 1.5 本论文的结构安排
• 第2章 右端不连续微分方程
• 2.1 Filippov 解
• 2.1.1 右端不连续常微分方程的Filippov 解
• 2.1.2 右端不连续时滞微分方程的Filippov 解
• 2.2 非光滑分析
• 2.2.1 广义方向导数和梯度
• 2.2.2 一个链式法则
• 2.3 收敛性和稳定性分析
• 2.3.1 右端不连续常微分方程的收敛性和稳定性
• 2.3.2 右端不连续常微分方程的鲁棒性
• 2.3.3 右端不连续时滞微分方程的全局渐近稳定性
• 第3章 几类不连续神经网络模型的动力学分析
• 3.1 不连续时滞神经网络的全局鲁棒稳定性
• 3.1.1 问题公式化
• 3.1.2 鲁棒稳定性分析
• 3.1.3 数值例子及结果比较
• 3.2 不连续周期神经网络周期解的存在性和全局渐近稳定性
• 3.2.1 模型介绍
• 3.2.2 周期解的存在性
• 3.2.3 全局渐近稳定性
• 3.3 具有时变输入的不连续时滞神经网络的全局输出收敛性
• 3.3.1 模型介绍
• 3.3.2 输出收敛性分析
• 3.4 非自治不连续神经网络的全局指数收敛性和全局有限时间收敛性.
• 3.4.1 模型介绍
• 3.4.2 全局指数收敛性
• 3.4.3 全局有限时间收敛性
• 3.4.4 应用举例与数值模拟
• 第4章 一类不连续收获策略下渔业模型的动力学行为
• 4.1 模型介绍
• 4.2 动力学结果
• 4.2.1 适定性
• 4.2.2 局部稳定性
• 4.2.3 全局稳定性
• 4.3 优化的收获策略
• 第5章 一类不连续治疗策略下传染病模型的动力学行为
• 5.1 模型及基本性质
• 5.2 主要结果
• 5.2.1 平衡点及其局部渐近稳定性
• 5.2.2 全局渐近稳定性
• 5.2.3 全局有限时间收敛性
• 结论
• 参考文献
• 附录A 攻读博士学位期间所发表和投稿的论文目录
• 致谢