延迟微分方程边界值方法的延迟依赖稳定性分析

论文摘要

延迟微分方程已广泛应用于物理、工程、生物、医学及经济等各个领域中.因绝大部分延迟微分方程真解的显式表达难以获得,所以数值方法求解这类方程具有重要的理论和实际意义.数值方法的稳定性是延迟微分方程数值解研究中一个重要的部分.本文主要研究延迟微分方程边界值方法的延迟依赖稳定性.全文由如下六部分组成.第一章叙述了延迟微分方程的应用背景,回顾了近几十年来延迟微分方程解析与数值稳定性理论的研究和发展概况,介绍了边界值方法及其应用.第二章介绍了本文需要用到的基础知识,引入了边界值方法的延迟依赖稳定性的两个概念：（?）k1,k2（0）-稳定性和Tκ1,κ2-稳定性.第三章考虑了求解一阶标量延迟微分方程的对称格式的延迟依赖稳定性.对于实系数模型,得到了数值方法的延迟依赖稳定区域.获得了对称方法是Tv,v-1（0）-稳定的充分必要条件,验证了10阶及以下的对称格式是（?）v,v-1（0）-稳定的.对于复系数情形,得到了对称格式的延迟依赖稳定区域,证明了所有对称格式均不是Tv,v-1-稳定的.第四章研究了求解一类二阶延迟微分方程对称格式的延迟依赖稳定性.得到了数值方法的延迟依赖稳定区域,获得了数值解能保持原问题渐近稳定性的充分必要条件,证明了所有Tv,v-1（0）-稳定的对称格式均能完全保持该二阶模型解析解的渐近稳定性.第五章研究了求解一阶标量延迟微分方程的广义向后差分公式的延迟依赖稳定性.得到了广义向后差分公式的延迟依赖稳定区域,证明了当且仅当κ=1,2,4,6时,广义向后差分公式是Tv,κ-v（0）-稳定的.第六章在一个统一的理论框架下研究了边界值方法的延迟依赖稳定性,获得了边界值方法是Tk,k2（0）-稳定的充分性条件,运用该条件对边界值方法中的三大类格式进行了分析,验证了11阶及以下的广义亚当斯方法都是Tv,κ-v（0）-稳定的.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 延迟微分方程
• 1.2 延迟微分方程数值稳定性理论发展概况
• 1.2.1 不依赖于延迟的稳定性
• 1.2.2 延迟依赖稳定性
• 1.3 边界值方法
• 1.3.1 边界值方法简介
• 1.3.2 延迟微分方程的边界值方法
• 1.4 本文主要研究内容
• 第二章 预备知识
• 2.1 解析解的渐近稳定区域
• 2.1.1 实系数模型
• 2.1.2 复系数模型
• 2.2 边界值方法的稳定性概念
• 第三章 对称格式的延迟依赖稳定性分析
• 3.1 对称格式的介绍
• 3.2 求解延迟微分方程的对称格式的稳定区域的边界轨迹
• k^m的格式'>3.2.1 边界轨迹BL_k^m的格式
• k^m的性质'>3.2.2 边界轨迹BL_k^m的性质
• 3.3 稳定性结果
• 3.3.1 模大于1的特征根的个数
• 3.3.2 k步对称格式的稳定区域
• *与C₁之间的关系'>3.3.3 稳定区域边界C_*与C₁之间的关系
• 3.4 求解复系数模型的对称格式的稳定性
• 3.5 数值试验
• 第四章 一类二阶延迟微分方程对称格式的延迟依赖稳定性
• 4.1 等价问题的转换
• 4.2 求二阶模型的对称格式的渐近稳定区域的边界轨迹
• k^m的格式'>4.2.1 边界轨迹BL_k^m的格式
• k^m的性质'>4.2.2 边界轨迹BL_k^m的性质
• 4.3 稳定性分析
• 4.3.1 模大于1的特征根的个数
• 4.3.2 对称格式的稳定区域
• *与C₀之间的关系'>4.3.3 稳定区域边界C_*与C₀之间的关系
• 4.4 数值试验
• 第五章 广义向后差分公式的延迟依赖稳定性分析
• 5.1 广义向后差分公式的介绍
• 5.2 广义向后差分公式稳定区域的边界轨迹
• k^m的格式'>5.2.1 边界轨迹BL_k^m的格式
• k^m的性质'>5.2.2 边界轨迹BL_k^m的性质
• 5.3 稳定性结果
• 5.3.1 模大于1的特征根的个数
• 5.3.2 广义向后差分公式的稳定区域
• *与S₍v,（k-v）^τ之间的关系'>5.3.3 稳定区域S_*与S₍v,（k-v）^τ之间的关系
• 5.4 数值试验
• k₁,k₂（0）-稳定的充分性条件'>第六章 边界值方法τ_k1,k2（0）-稳定的充分性条件
• 6.1 简介
• 6.2 稳定性结论
• 6.3 定理6.1的应用
• 6.3.1 对称格式
• 6.3.2 广义向后差分公式
• 6.3.3 广义亚当斯方法
• 6.4 数值试验
• 参考文献
• 攻读博士期间的主要研究成果
• 致谢