可积Hamilton系统和具有不变代数曲面的三维系统的动力学

论文摘要

可积Hamilton系统是非线性科学研究的一个重要分支，她广泛地出现在力学、声学，光学，生命科学以及社会科学等各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科技以及生物工程中很多模型都以可积Hamilton系统或者其扰动系统的形式出现的。另外，很多描述混沌现象、非线性振动和生物数学等模型都是三维的系统，如Lorenz系统，Rabinovich系统、Chen系统、Rikitake系统和Lotka-Volterra系统等等。这些系统尽管形式上非常简单，但其动力学极其复杂。至今都没有完全弄清楚他们的动力学性质。为了简化问题，往往考虑其具有首次积分或不变代数曲面的情况。在研究微分方程和动力系统的过程中，人们十分关心其是否存在不变量。不变量的存在性问题从Poincare和Hilbert时代起就一直是人们普遍关心的问题。如果一个微分系统存在一个首次积分，他的动力学的研究就可以降低一维。如果可积，则有可能了解系统的整体动力学性质。如果一个系统具有不变代数曲面，则通过不变代数曲面上系统的动力学的研究，可以有助于整个空间中系统动力学的研究。因此可积Hamilton系统的存在性的判定，以及他们的拓扑、几何、代数性质的研究，以及具有不变代数曲面的微分系统的动力学的研究有着很大的实际应用价值。但正如Poincare所指出：不变代数曲面和首次积分的寻找是十分困难的问题。本文研究一些特殊Riemann流形上Hamilton系统的正交分离可积以及他们的拓扑熵，和一些著名三维系统当具有不变代数曲面时该系统轨道的全局拓扑结构。具体阐述如下。本文第一部分介绍可积Hamilton系统的应用背景及意义，系统全面的介绍了可积Hamilton系统及其拓扑熵的研究的发展历程、国内外的研究现状和具有不变代数曲面的三维系统的研究意义、历史和发展。第二部分在两维环面T2上由三维空间自然诱导的度量下，研究具有两个自由度的自然Hamilton系统的正交分离可积（这里的可积是在Liouville意义下），得到这类系统所有可能的分类。并证明这类可积流如果是解析的，则在任何紧的正则能量面上的拓扑熵为零。进一步地，我们通过例子显示T2上的可积Hamilton统可以有复杂的动力学现象。例如，它们有多族不变环面，每一族都由同宿环状柱面和异宿环状柱面所包围。据我们所知，这是第一个具体的例子来表现很多族环面在一个复杂的的方式下同时出现。第三部分里我们首次在Riemann流形T2×[0，1]上给出了C∞。光滑的正交分离的带有势能的自然Hamilton系统的特征。利用这些T2×[0，1]上的Hamilton系统，我们得到在Riemann流形MA=T2×[0，1]／～上C∞光滑可积的Hamilton系统。进而，我们证明对于任何一个总能量不小于eH的可积Hamilton系统，存在一个零Lebesgue测度集合Ω（?）D：={e∈R；e≥eH}，使得对任意的e∈D＼Ω，约束在能量面{H=e}上的Hamilton流有正的拓扑熵。据我们所知，这是首个在Riemann流形上具有正拓扑熵的C∞光滑Liouville可积的自然Hamilton系统的例子，而Bolsinov和Taimanov的例子是对于Riemann流形MA上的测地流得到的。第四部分中，我们在Riemann流形Tn×[0，1]给出所有C∞光滑正交分离的自然Hamilton系统，即既有动能又有势能，的特征。然后，在这些系统中找出在Anosov映射诱导的n维环面双曲自同构，即Riemann流形MA：=Tn×[0，1]／～上C∞光滑可积的系统。特别地，我们讨论了Anosov映射诱导的环面双曲自同构的谱有复特征值的情况。进而，我们证明了限制在正则能量面上的Hamilton系统有正的拓扑熵。这里给出了一个任意有限维空间上的带有正拓扑熵的C∞Liouvill可积的自然Hamilton系统的例子。第五部分将研究具有不变代数曲面的Rabinovich系统（?）=hy-v1x+yz，（?）=hx-v2y-xz，（?）=-v3z+xy和Chen系统（?）=a（y-x），（?）=（c-a）x-xz+cy，（?）=xy-bz，的轨线的全局拓扑结构。我们完全解决了这两类系统的动力学研究。

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 可积Hamilton系统的应用背景及意义
• 1.2 可积Hamilton系统研究的历史与现状
• 1.3 可积Hamilton系统的拓扑熵的研究及其发展状况
• 1.4 具有代数不变面的三维系统的研究意义、历史和发展
• 1.5 本文的主要研究内容
• 2上的正交分离Hamilton系统'>第二章 T²上的正交分离Hamilton系统
• 2.1 预备知识
• 2.2 Hamilton系统及其正交分离
• 2.2.1 正交分离网和S（a|¨）ckel网
• 2.2.2 正交分离的Hamilton系统
• 2上可积Hamilton系统'>2.3 T²上可积Hamilton系统
• 2上可积Hamilton系统的动力学性质'>2.4 T²上可积Hamilton系统的动力学性质
• 第三章 有正拓扑熵的可积Hamilton系统
• 3.1 预备知识和背景
• 3.1.1 研究背景
• 3.1.2 预备知识
• 3.2 主要结论
• 3.3 主要结论的证明
• 第四章 环面双曲自同构上的可积Hamilton系统
• 4.1 问题背景和准备知识
• 4.2 环面双曲自同构上的可积Hamilton系统及其拓扑熵
• 4.3 主要定理证明
• 第五章 具有不变代数曲面的三维系统
• 5.1 研究背景和基本知识
• 5.2 具有代数不变面的Rabinovich系统及其轨道的拓扑结构
• 5.2.1 Rabinovich系统及其代数不变面
• 5.2.2 Rabinovich系统在其代数不变面上的动力学性质
• 5.3 具有代数不变面的Chen系统
• 5.3.1 Chen系统及其代数不变面
• 5.3.2 Chen系统在其代数不变面上的动力学性质
• 参考文献
• 附录一 致谢
• 附录二 作者攻读博士学位期间完成的论文