递归分形插值函数的变差性质与维数

论文摘要

分形插值的概念是在1986年由美国数学家Barnsley首先提出,它是一种新的插值方法,它在图象压缩、非光滑曲线和曲面的拟合等研究领域中显示出了独特的优越性,取得了巨大的成功。Barnsley所提出的分形插值函数是定义在区间上的连续函数,这类函数没有显式表达式,是由一组映射所生成的吸引子来确定的。因此,研究这类函数的性质需要一些独特的方法,传统的一些分析方法一般不能直接使用,必须开辟一些新的方法和理论。这样,分形插值也为函数论的研究提供了一个崭新的研究领域。递归分形插值是在原分形插值的基础上发展起来的一种更灵活、更优越的分形插值函数,更能刻画出自然中复杂的随机性和不确定性。文[3]介绍了递归仿射分形插值函数的构造,并给出了计盒维数的计算公式。在此基础上,本文讨论了更加一般的递归分形插值函数问题,研究了其迭代函数系的构造方法,证明了这类递归分形插值函数图象的维数定理。同时从研究连续函数变差的性质入手,进一步得到了递归分形插值函数变差的一些性质,并对这类递归分形插值函数变差的阶进行了估计。应用这些结论,根据连续函数变差与其图象盒维数的关系,从另一角度得到了这类递归分形插值函数图象的维数定理,并且给出的维数公式没有关联矩阵为不可约的限制。用这种方法构造的递归分形插值函数在实际运用方面的灵活性大大增强,弥补了一阶递归分形插值函数在计算维数方面的不足,同时使图像模拟更逼真。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 绪论
• 第一章 分形基本理论与基础知识
• 1.1 Hausdorff维数
• 1.2 Box维数（盒维数）
• 1.3 分形函数图像的维数
• 第二章 分形插值
• 2.1 迭代函数系（IFS）
• 2.2 仿射变换和相似变换
• 2.3 分形插值函数
• 2.4 自仿射分形插值函数的盒维数
• 第三章 递归分形插值函数
• 3.1 递归分形插值函数
• 3.2 一类递归分形插值函数的计盒维数
• 第四章 递归分形插值函数变差的性质与维数定理
• 4.1 连续函数变差的性质
• 4.2 递归分形插值函数变差的性质
• 结束语
• 参考文献
• 在读期间发表的论文
• 致谢