论文摘要
设G是一个有限群.πe（G）表示群G的元素阶的集合;M（G）表示群G的最高阶元的集合;mi（G）:=|{g∈G|o（g）=i}|表示G中i阶元的长度（个数）,简记为mi;nse（G）:={mi|i∈πe（G）}表示群G的同阶元素长度的集合.设Md（G）:={g∈G|gd=1}.称有限群G1,G2是同阶型群当且仅当|Md（G1）|=|Md（G2）|,d=1,2,….考虑群的数量关系对有限群结构的影响是有限群论中一个重要的课题.许多群论工作者在这方面做了大量工的作.如著名的Sylow定理,Lagrange定理,奇阶群可解定理,Burnside定理等.在1987年,施武杰教授提出了单群的纯数量刻画:仅用有限群元素阶的集合πe（G）和有限群的阶|G|来刻画有限单群（参见[41],[42],[43],[44],[45],[46],[47],[48],[49],[50],[51],[52],[53],[54],[55],[56]）.一些群论工作者用可解子群的阶来刻画单群（参见[1],[36],[59]等）.1987年,J.G.Thompson教授在给施武杰教授的一封信中提出了下面的一个问题:Thompson问题设G1和G2是有限同阶型群.若G1可解,G2是否可解?一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群,侧面对Thompson问题进行了研究,得到了一些令人鼓舞的结果（参见[8],[11],[18],[24],[25],[26],[27],[28],[30],[37],[61]）.但是,该问题自1990年公开（参见[47]）以来,没有人完整地证明该问题,也没有人给出反例.可见Thompson问题的解决是有相当困难的.容易看出如果G1和G2是有限同阶型群,必然有nse（G1）=nse（G2）,|M（G1）|=|M（G2）|且|G1|=|G2|.目前,我们尚未发现有人用数量集合nse（G）来刻画有限群G.本文分别利用了有限群G的同阶元素长度的集合nse（G）或最高阶元的个数|M（G）|来刻画有限群,取得了一系列结果.本文共分三章,主要内容如下:第一章:介绍常用符号和术语.第二章:用nse（G）来刻画有限单群.为叙述方便,分为如下的三部分.第一部分我们用nse（G）和|G|来刻画某些单群,即得到下面的定理:设G是有限群,M是单群,其中M单K3-群,单K4-群,散在单群或L2（q）,其中q是素数或q=2m且2m+1或2m-1是素数,则G≌M当且仅当nse（G）=nse（M）且|G|=|M|.第二部分我们讨论了nse（G）中的元素是连续整数的有限群,给出了完全分类,即下得到了面的定理:设G是有限群,若nse（G）中的元素是连续整数,即nse（G）={1,2,…,n},则n≤3且下面结论之一成立:Ⅰ.当n=1时,G≤C2.Ⅱ.当n=2时,G≌C3,C4或C6.Ⅲ.当n=3时,G≌S3.第三部分我们研究了nse（G）={1,15,20,24}的有限群,得到了下面定理:设G是有限群,则G≌A5当且仅当nse（G）={1,15,20,24}.第三章分类|M（G）|=24的有限群.我们得到下面的定理:设G是有限群,k为G的元素的最高阶.如果|M（G）|=24,则G为下列情形之一:1.如果k=4,则下面结论成立:1.1.G=N（?）C3是一Frobenius群,其核为N,补为C3,而N≌G4,G5或G6.1.2.G=C24（?）S3,P2=D8×C2×C2.2.如果k=5,则下面结论成立:2.1.G≌C5×C5.2.2.G是一Frobenius群,其核为P5（?）G,补为H,其中P5=C5×C5,|H||24.2.3.G≌A5.3.如果k=6,8,9,12,16,18或24,则|G||2α.3β,其中α≤7,β≤4.4.如果k=10,则下面结论成立:4.1.P5=C5×C5（?）G,CG（P5）=P5×C2,|G/CG（P5）||22.4.2.A5×C2或SL2（5）.4.3.A5×C2（?）G,|G|=240.4.4.G/Z（G）≌S5,|Z（G）|=2.5.如果k=20,则G/CG（x）≤C4,CG（x）=G5×H,H≌Q8或S4.6.如果k=28,则|G||24·3·7,P7（?）G,CG（P7）=C28×C2.7.如果k=30,则|G||24·3·5,P5（?）G且CG（P5）=C30×C2.8.如果k=36,则（?）G,G/CG（）（?）Aut(C36)且CG（）≌C36×C2或C4.9.如果k满足φ（k）=24,则CG（）=（?）G且G/CG（）（?）Aut（Ck）,其中o（x）=k.
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标签：有限群论文; 有限单群论文; 同阶元素长度的集合论文; 最高阶元的个数论文;