分数布朗运动驱动的随机微分方程解的若干结果

论文摘要

随机微分方程是20世纪中叶发展起来的一个学科，是数学中一个非常活跃、引人注目的领域，国内外有很多学者都对此进行了研究并且获得了辉煌的成果。21世纪左右，在许多科学(生物，金融等)中出现了由分数布朗运动驱动的随机微分方程的数学模型。分数布朗运动的Hurst系数H∈(0,1),当Hurst系数H等于时，分数布朗运动即为布朗运动。分数布朗运动不是马氏过程，也不是半鞅。所以分数布朗运动可以描述马氏过程和半鞅过程不能描述的过程。这就使得分数布朗运动在很多领域有着更广泛的应用。本文在线性增长条件和Lipschitz条件下，主要利用Picard迭代法讨论了分数布朗运动驱动的随机微分方程解的存在性和唯一性问题。本文分为六章。第一章，介绍随机微分方程理论的发展历史，同时介绍由分数布朗运动驱动的随机微分方程的研究现状、本文的选题依据以及研究的主要内容。第二章，介绍分数布朗运动的定义和性质，同时介绍分数布朗运动的随机分析理论以及Poisson过程的定义，Lipschitz条件的定义以及比较引理，Fatou引理等。第三章，假设随机微分方程是由分数布朗运动驱动，系数满足Lipschitz条件和线性增长条件，研究了方程解的存在性和唯一性问题，并得到了解的存在性和唯一性定理。第四章，假设随机微分方程是由Poisson过程和分数布朗运动共同驱动，方程系数满足Lipschitz条件和线性增长条件，研究了方程解的存在性和唯一性问题，并得到了解的存在性和唯一性定理。第五章，假设随机微分方程由分数布朗运动驱动，在系数满足Lipschitz条件和线性增长条件下，讨论了方程解的收敛性问题，并得到了解的收敛性定理。第六章，总结了本文所研究的主要内容，并对进一步需要研究的问题进行了展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 引言
• 1.1 发展背景及研究近况
• 1.2 选题依据
• 1.3 主要内容
• 2 预备知识
• 2.1 分数布朗运动的相关定义和性质
• 2.2 Poisson过程的相关定义及性质
• 3 分数布朗运动驱动的随机微分方程
• 3.1 解的存在性和唯一性定理
• 3.2 本章小结
• 4 分数布朗运动和泊松过程共同驱动的随机微分方程
• 4.1 解的存在性和唯一性定理
• 4.2 本章小结
• 5 分数布朗运动驱动的随机微分方程解的收敛性
• 5.1 收敛性定义
• 5.2 数值解的收敛性定理
• 5.3 本章小结
• 6 总结
• 6.1 本文总结
• 6.2 展望
• 参考文献
• 附录
• 在国内外学术期刊上发表的论文
• 致谢