论文摘要
本文利用微分方程定性理论和分支理论对一个具有饱和治疗函数与密度制约的SIS传染病模型和一个具有饱和发生率的SIV传染病模型的动力学性态进行了研究。全文共分四童。在第一章和第二章中，对传染病模型的研究背景、本文涉及研究领域的研究现状及与本文有关的基本概念和定理、引理等作了简要介绍。同时，给出了本文所要做的主要工作。在第三章中，讨论了一个具有饱和治疗函数以及出生率和死亡率均具有密度制约的s，s传染病模型，其中总人口的变化满足logistic方程，治疗项采用一个连续可做的函数，描述在医疗条件有限的情况下患病者的治疗被耽误的影响。研究发现当患病者的治疗被耽误的影响较强时，模型将出现后向分支，因此基本再生数R0=1不再是疾病是否消亡的阈值，并计算系统新的疾病控制临界值Rc。另外文中还得到无病平衡点和地方病平衡点全局稳定的充分条件。主要结论均通过数值模拟加以验证。在第四章中，讨论了一个具有饱和发生率的SIV传染病模型。利用系统的不变流形将其转化为平面系统，证明了无病平衡点的全局稳定性。通过对地方病平衡点的定性分析，证明了平面系统在一定条件下存在Hopf分支及Bodanov-Takens分支，并且还出现了双稳定现象的动力学性态。利用规范型理论和中心流形定理分析了Hopf分支的性质，包括Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性主要结论均通过数值模拟加以验证。