万有Teichmüller空间与拟共形扩张及区域的单叶性内径

论文摘要

本文围绕万有Teichmuller空间的几何性质展开,将万有Teichmuller空间与单叶函数,拟共形映射,Loewner链理论结合起来,研究了万有Teichmuller空间的不同模型下的测地线唯一性性质,解释了Pre-Schwarz导数模型下单叶性内径的几何意义,给出了在一个区域内局部单叶的全纯（亚纯）函数成为整体单叶函数的充分条件,并得到了区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径的下界估计公式。论文共分五章,第一章是引言,我们将简要的介绍拟共形映射的发展以及应用背景,Teichmuller空间理论,Loewner理论,并叙述本文研究的主要问题及所获得的结果。在第二章中,我们将讨论万有Teichmuller空间的测地线唯一性性质,研究万有Teichmuller空间不同模型下测地线的唯一性问题是否等价。通过构造具体的反例,我们给予这个问题一个否定的回答,即万有Teichmuller空间的不同模型下测地线的唯一性不具有等价性。在第三章中,我们将研究以无穷远点为内点的区域的Pre-Schwarz导数单叶性内径,结合万有Teichmuller空间的定义与性质,我们指出以∞为内点的拟圆区域D的Pre—Schwarz导数单叶性内径σI*（D）,即为该模型中一点到边界的最小距离。同时,我们给出了与Ahlfors—Lehto公式相对应的关于Pre—Schwarz导数的单叶性内径的公式,并应用它得到了椭圆外区域的Pre—Schwarz导数单叶性内径的下界估计值。在第四章中,我们利用了Loewner理论,给出了对于单位圆内局部单叶的全纯（亚纯）函数成为整体单叶函数的充分条件。通过构造函数的拟共形扩张表达式,并结合万有Teichmuller空间的性质与Pre-Schwarz导数单叶性内径的几何意义,得到了拟圆区域Pre—Schwarz导数单叶性内径的下界估计公式。在第五章中,我们将研究Pre-Schwarz导数与拟共形扩张的问题.这个问题同样和万有Teichmuller空间Pre-Schwarz导数嵌入模型密切相关。如何用Pre-Schwarz导数来判定一个函数能否拟共形扩张,且其扩张后的函数的复特征与Pre-Schwarz导数有何联系,这是一个十分有趣的问题,如何写出它的具体的扩张表达式则是一个十分困难却有意义的工作。在本章中,我们将就上述两方面进行研究。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 引言
• 1.1 拟共形映射的发展背景和应用
• 1.2 研究现状和主要问题
• 1.2.1 不同模型下万有Teichmüller空间测地线唯一性问题
• 1.2.2 单叶性内径问题
• 1.3 主要结果
• 第二章 万有Teichmüller空间不同模型中测地线的唯一性等价问题
• 2.1 预备知识与问题的提出
• 2.2 主要定理与证明
• 第三章 万有Teichmüller空间的Pre-Schwarz导数嵌入模型及其应用
• 3.1 引言
• 3.2 函数存在拟共形扩张的一个充分条件
• 3.3 主要定理及证明
• 3.4 定理的应用
• 第四章 万有Teichmüller空间与Loewner链
• 4.1 Loewner理论
• 4.2 主要结果
• 第五章 Pre-Schwarz导数与拟共形扩张
• 5.1 引言
• 5.2 主要定理及证明
• 5.3 拟共形扩张和单叶性内径
• 参考文献
• 致谢
• 附录