无穷维KAM理论在梁方程中的应用

论文摘要

本文主要研究无穷维KAM理论在梁方程中的应用.全文分为三章：第一章是绪论,第二章,第三章为论文主体部分.基于Eliassion[21],Melnikov[56]和Poschel[58]发展起来的KAM理论,起初主要是研究有限维Hamilton系统低维不变环面的保持性,但到今天,已经获得了巨大的发展.其中最重要的一个方面,是由经典的KAM理论发展起来的无穷维KAM理论用于证明拟周期解的存在性,这方面已有大量的结果（[14,29,40,78,61,4,6]）.在[7]中,Bourgain利用KAM方法以及Nash-Moser型方法获得了不变环面的存在性,并且在第一Melnikov非共振条件下,不变环面的频率具有下面的特点：ω=λω*（λ∈R,λ≈1）,ω*为固定频率.随后,Eliassion[21]在第一,第二和第三Melnikov非共振条件以及非退化条件det（Dw（y））≠0,<l,Ω（y）-w（y）（Dw（y））-1DΩ（y）>≠0下,其中y∈Rn,l∈Zm,|l|≤3,证明了同样的结果,但是其中的频率向量ω都是位于有限维的平面空间中.本文的第二章主要是证明了当频率向量位于无穷维平面空间中时,梁方程在Dirichlet边界条件下也存在不变环面.在第三章中,我们主要是利用发展的无穷维KAM理论,研究具有拟周期势的梁方程拟周期解的存在性.其关键性的步骤是,我们需要把方程约化到一个可以利用无穷维KAM理论的系统中,也就是说,我们需要通过一个拟周期变换把Hamilton系统的线性部分约化为一个常系数形式.

论文目录

• 内容提要
• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1 典型Hamilton系统
• 2 可积系统与近可积系统
• 3 低维KAM环面和无穷维KAM理论
• 第二章 具有预先给定频率的非线性梁方程的不变环面
• 1 引言和主要结果
• 2 定理证明
• 2.1 函数空间
• 2.2 函数
• 2.3 一维梁方程的Hamilton方程
• 2.4 Birkhoff标准形
• 3 KAM步骤
• 3.1 扰动项的截断和求同调方程
• 3.2 频率满足的区域
• 3.3 求解线性同调方程
• 3.4 确定变换Φ（?）φ
• 3.5 新频率估计
• 3.6 估计新的扰动项
• 3.7 迭代引理以及变换的收敛性
• 3.8 迭代过程的收敛性
• 4 测度估计
• 第三章 具有拟周期势的梁方程拟周期解
• 1 Floquet理论
• 2 预备知识以及主要结果
• 3 一阶梁方程的Hamilton形式
• 3.1 KAM迭代
• 3.2 求解同调方程
• 3.3 新扰动的估计
• 4 迭代引理以及收敛性
• 4.1 关于变换Φ的估计
• 4.2 迭代序列的收敛性
• 5 测度估计
• 参考文献
• 攻博期间完成的学术论文
• 致谢