求解美式期权定价问题的两类数值方法

论文摘要

美式期权定价问题在数学上可表示为著名的Black_sch。les方程，它为自由边界问题由于自由边界未知，给问题的求解带来了很大的困难Muthuraman于2008年提出了数值求解美式期权定价问题的一种移动边界法.但该方法只能计算初始边界小于等于自由边界的情形，当初始边界不满足上述要求时，该移动边界法不再适用，原因在于边界更新策略失效为此，本学位论文在第三章提出了一种改进的移动边界法，新方法可以计算初始边界大于等于自由边界以及与自由边界相交的情形数值例子验证了新方法的有效性罚函数法为数值求解美式期权定价问题的另一类重要方法，通过在Black_scholes方程中添加一个含有小参数e且连续的罚函数项，可使自由边界问题变为在固定区域上的非线性偏微方程，然后求解，再令e趋于零，使得相应的解逼近期权值罚函数法存在两个困难首先，因为期权值要大于等于收益函数，所以在计算过程中这一性质应得到满足，但正如Nielsen所指出的，由于罚函数项的存在，满足这一条件计算格式的构造很困难其次，罚函数项为期权值的非线性函数，因此若采用隐格式处理罚函数项，须求解非线性方程组，从而需要迭代；另一方面，若采用显式格式处理罚函数项，虽可以避免迭代，但又可能损失计算格式的精度，因为显式处理罚函数项，则该项的精度在时间上仅为一阶本学位论文第四章在求解多资产美式期权定价问题罚函数法的计算格式中首次引入欧拉一拉格朗日分裂技巧，使得在欧拉步中含罚函数项的方程可以准确求解，从而更好地解决了数值计算中期权值必须大于等于收益函数的问题其次，在拉格朗日步中提高计算格式的精度，使得整体数值解的精度得以提高最后分别计算了单资产和多资产两个数值算例，数值结果均验证了新方法的有效性

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 1.1 美式期权定价问题的背景
• 1.2 前人的工作成果
• 1.3 本文的主要成果
• 2 美式期权定价问题的数学模型
• 2.1 单资产期权
• 2.2 多资产期权
• 3 美式期权定价问题的新移动边界法
• 3.1 模型的变换
• 3.2 Muthuraman移动边界法
• 3.2.1 Muthuraman移动边界法过程
• 3.2.2 Muthuraman移动边界法的边界序列收敛性证明
• 3.3 新移动边界法
• 3.4 数值解法
• 3.5 数值分析
• 4 罚函数法求解美式期权定价问题
• 4.1 单资产期权罚函数法
• 4.2 多资产期极罚函数法
• 4.3 罚函数法的改进：欧拉一拉格朗日分裂格式
• 4.4 欧拉步的分析求解
• 4.5 拉格朗日步的计算格式改进
• 4.5.1 拉格朗日步中对[2]方法的改进
• 4.5.2 拉格朗日步中对[3]方法的改进
• 4.5.3 拉格朗日步中对[4]方法的改进
• 4.6 数值结果
• 4.6.1 单资产期权
• 4.6.2 多资产期权
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表的学术论文目录