三维自相似集的Hausdorff测度与上凸密度

论文摘要

在分形几何中，自相似集的Hausdorff测度在理论上已经得到广泛研究，但Hausdorff测度的实际计算和估计相当困难，目前还没有找到普适的方法，即使是十分规则的自相似集也是如此，目前只是对少量特殊的自相似集计算出它们的Hausdorff测度值．上凸密度是刻画分形集合局部结构的一个重要参数，它与Hausdorff测度有着密切的联系，本文主要根据二者之间的关系研究一类由单位立方体生成的自相似集的Hausdorff测度．文章首先介绍了Hausdorff测度与维数，然后介绍了自相似集的相关定义及性质，随后介绍了密度与上凸密度的定义及其性质，最后主要研究了三维空间中，由单位立方体生成的一类自相似集，也就是一个Sierpinski块，在满足强分离条件及维数小于1的条件下，证明了自然覆盖为其实现上凸密度1计算的最好形状，因而自然覆盖即是最好的覆盖，作为它的直接推论，可以得到该类自相似集的Hausdorff测度的精确值并给出一些应用．

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 绪论
• 第一章 Hausdorff测度与维数
• §1.1 Hausdorff测度及其性质
• §1.2 Hausdorff维数及其性质
• §1.3 质量分布原理
• 第二章 自相似集
• §2.1 相关定义和性质
• §2.2 自相似集的Hausdorff测度
• §2.3 一些特殊自相似集及其Hausdorff测度
• 第三章 密度与上凸密度
• §3.1 密度的定义及有关性质
• §3.2 上凸密度的定义及相关性质
• 第四章 三维自相似集的Hausdorff测度与上凸密度
• §4.1 三维自相似集的构造
• §4.2 相关引理
• §4.3 主要定理及证明
• §4.4 定理的应用
• 参考文献
• 致谢
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