论文摘要
令G是一个平面图或某曲面上的2-胞腔嵌入图.G中两两不交偶面构成的集合H称为一个共振型（如果H中的偶面都是六边形面,则共振型也称六隅体型）,如果G-H有一个完美匹配（在化学中完美匹配也叫Kekule结构）.若G中任意i（i≤k）个两两不交偶面形成一个共振型,则G称为k-共振的.共振的概念来源于Clar芳香六隅体理论和Randic共轭图模型.k-共振的概念首先是在苯系统中提出来的.实验表明,对两个同构的苯碳氢化合物来说,相互共振的六边形个数越多,化合物越稳定.随后,k-共振性的研究被推广到一般可平面图以及曲面上的2-胞腔嵌入图上,例如带洞六角系统、开口碳纳米管、球面富勒烯图、环面富勒烯图、Klein-瓶富勒烯图、硼氮富勒烯图、多面体系统、三正则二部多面体图,等等.富勒烯图是3-正则、3-连通且仅由五边形和六边形面构成的可平面图.这类图是富勒烯分子的模型.2009年,叶东和张和平证明了每个富勒烯图是1-共振的.并且k-共振的富勒烯图（k≥3）恰好有9个F20、F24、F28、F32、F361、F362、F40、F60,但并不是所有的富勒烯图都是2-共振的.他们也证明了每个leapfrog富勒烯图是2-共振的,并提出一个问题：是否每个没有相交五边形的富勒烯图（这样的图也称为IPR富勒烯图）是2-共振的?在2011年,Kaiser等人对这个问题做了一个肯定回答.但是富勒烯图的2-共振性仍未解决.对于大于等于3的正整数k,（k,6）-富勒烯图是一个3-正则且仅由k边形和六边形构成的可平面图.若这样的（k,6）-富勒烯图存在,k只能取3、4或5.一个（4,6）-富勒烯图是硼氮富勒烯分子图并且（5,6）-富勒烯图就是我们平常所说的富勒烯分子图.硼氮富勒烯图的k-共振性问题已解决.那么很自然的问题就是考虑（3,6）-富勒烯图的k-共振性.围绕着这两个问题,本文研究了（3,6）-富勒烯图的k-共振性以及富勒烯图的2-共振性.全文分为五章.第一章,我们首先介绍一些基本概念、术语和记号.然后阐述关于图的共振性研究的背景及研究进展.最后勾勒本文的主要结论.第二章.我们考虑（3,6）-富勒烯图的六角形共振性.对于（3,6）-富勒烯图G,它的连通度是2或3.连通度是3的（3,6）-富勒烯图的结构已有人刻画.所以在这一章里我们首先对连通度是2的（3,6）-富勒烯图给出一个结构定理.然后分两种情况证明了若一个（3,6）-富勒烯图G的连通度是2,则它不是1-共振的；若G的连通度是3,则它是1-共振的（一个图除外）,但不是2-共振的（除了两个图）.第三章,我们研究不包含子图L或R的富勒烯图的2-共振性.因为IPR富勒烯图不包含子图L或R,所以我们把Kaiser的结论（每个IPR富勒烯图是2-共振的）推广到不包含这两个子图的富勒烯图上,即证明除了十一个图之外每个不包含子图L或R的富勒烯图是2-共振的.第四章,我们考虑极值富勒烯图的2-共振性以及小于等于60个顶点的富勒烯图的2-共振性.对于大于等于60个顶点的极值富勒烯图,它包含的极大五边形片断的结构已经被刻画.根据这样一个刻画,再结合第三章的结论,我们首先证明大于等于60个顶点的极值富勒烯图是2-共振的.最后借助于计算机我们找到了小于等于60个顶点的且不是2-共振的富勒烯图.在前面两章中,我们都是对特殊富勒烯图的2-共振性进行刻画.在第五章里,我们对一般富勒烯图的2-共振性给一个比较完整的刻画,也即一个富勒烯图是2-共振的当且仅当它不同构于119个图中某一个或者它不拥有47个图中某个作为子图.