辛算法及其相位飘移性质的研究

论文摘要

自从冯康和Ruth提出了求解Hamilton系统的辛算法后，国内外学者对辛和多辛算法的研究已经取得了很大的成就。辛几何算法的主要特点有：①保持原有系统的结构，具有长期的跟踪能力，因此在长期计算中可以验证计算结果的准确性；②挖掘辛几何规律，若能赋予相应的物理意义，便有可能发现和发掘新的自然规律。保守体系应该保辛，Hamilton体系是保守体系，因此有必要探讨应用辛算法来解决各类Hamilton系统中的规律挖掘问题。本文2～4章是学术研究论文，作者在文中取得了一系列的创新成果，主要是从理论上分析了一般的字母型偶数阶线性Hamilton系统的辛算法飘移性及其规律。利用辛算法的保结构性，将迭代矩阵作同构变形，通过比对精确解与近似解，得到飘移量公式。建立了纠飘算法，相应的数值计算结果令人满意。本文的第5章，是作者按照“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例完成的，是在阅读、理解大量科技文献后经思考、提炼而撰写的综合报告，主要综述了辛算法在小参数摄动、非线性ODE摄动、振动系统、最优控制系统中的应用背景及其辛精细与辛RK算法。主要工作是将不同背景下的实际问题转化为线性Hamilton系统，选取合适的辛差分格式求解。数值算例表明了:辛算法在线性Hamilton系统中的相位飘移性质是具有普适性的。

论文目录

• 符号说明
• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 辛算法介绍及其若干应用
• 第二章 辛算法的飘移性质及其认识
• 第三章 2 阶、4 阶线性Hamilton 系统辛算法的飘移性质研究
• 3.1 2 阶线性Hamilton 系统的辛算法飘移性质定理
• 3.2 4 阶线性Hamilton 系统的辛算法飘移性质定理
• 第四章 2n 阶线性Hamilton 系统辛算法的飘移性质研究
• 4.1 2n 阶线性Hamilton 系统的辛算法的飘移性质
• 4.2 “纠飘辛算法”的理论
• 4.3 算例分析
• 第五章 作者按“数学系统一要求”撰写的综述报告 附见：“上海交通大学数学系硕士研究生毕业要求”的条例
• 5.1 辛算法与小参数摄动法
• 5.1.1 小参数摄动的保辛法
• 5.1.2 矩阵摄动法诱导的线性方程组
• 5.1.3 一类特殊PDE 的Hamilton 摄动辛算法
• 5.2 辛算法与精细算法
• 5.2.1 精细辛算法的介绍
• 5.2.2 精细辛算法相关理论
• 5.2.3 算例分析
• 5.3 辛算法在振动系统中的应用
• 5.3.1 背景介绍
• 5.3.2 单摆问题的辛算法解
• 5.4 辛算法在最优控制中的应用
• 5.4.1 最优控制问题的介绍
• 5.4.2 最优控制问题的Hamilton 数学理论
• 5.4.3 特殊问题及其辛算法求解
• 5.5 一类非线性摄动ODE 的辛算法应用
• 5.5.1 背景介绍
• 5.5.2 理论
• 5.5.3 弹簧振荡问题的摄动辛算法应用
• 5.6 辛算法与Runge-Kutta 方法
• 5.6.1 辛Runge-Kutta 方法及其理论介绍
• 5.6.2 算例
• 参考文献
• 致谢
• 附录1 作者对著名应用数学家的研究：应用数学家林家翘简介及其关于“理工结合”的论点
• 附录2 作者对应用数学的一些认识：谈谈应用数学与纯粹数学
• 附录3 作者在攻读硕士学位期间已发表或录用的论文