三维和四维非线性系统Hopf分岔反馈控制

论文摘要

作为一个新出现的前沿研究课题,高维系统的分岔控制极具挑战性。低维系统的分岔控制研究已经取得了一些成果,而高维系统的分岔控制比低维系统的难度要大得多。延迟和消除分岔现象,避免不良后果,或有目的地创建或强化有益的分岔现象,使其为人们所利用,是分岔控制理论研究的主要内容。本文主要研究典型的三维和四维非线性系统的Hopf分岔控制问题,分析系统的分岔特性,提出控制方法,设计分岔控制器,使系统产生所期望的动力学行为。本文首先综述了非线性控制理论、分岔控制、Hopf分岔控制以及混沌控制等的研究现状与发展状况。然后介绍了非线性动力学研究的一些基本概念和几种分岔控制方法,阐述了Hopf分岔定义与判据、Hopf分岔理论、以及Hopf分岔周期解的近似求解方法,同时给出了极限环稳定性指标与极限环幅值近似解析解的计算。作为Hopf分岔控制研究的一个重要方面,本文着重研究了三维和四维非线性系统的极限环幅值控制问题,根据中心流形定理和规范型降维理论,提出了方便有效的极限环幅值控制方法。对于三维系统,研究了作用于标准型下系统的普适的多项式控制器设计以及相应的极限环稳定性指标的计算,建立了受控系统的极限环幅值与控制增益之间的近似解析关系。以Chen系统和平滑Chua系统为示例,验证了所提出的幅值控制方法的简便与有效性。不同于对Chen系统和Chua系统的幅值控制,对于同样是三维的Langford系统,其极限环的幅值控制更加直接而有效,便于实现控制增益的优化设计,而且,对于给定的幅值控制目标,可直接针对原系统进行控制器设计。此外还设计了一些特殊的控制器,在这些控制器作用下,能够写出受控系统极限环幅值与控制增益之间的精确解析关系。对于四维Qi系统的极限环幅值控制,采用的是washout filter非线性反馈控制器,受控系统的维数达到了五维,成功建立了极限环幅控近似解析关系,给出了反映在不同的控制增益下受控系统极限环的幅值控制结果的幅值曲线。对于所得到的近似解析关系,本文均与数值模拟结果进行了对比验证,验证结果说明:在Hopf分岔邻域,这些近似解的误差很小。本文分别对Langford系统的一次Hopf分岔、二次Hopf分岔及其混沌运动的控制进行了研究,分别得到控制增益与分岔参数之间的解析关系。采用线性状态反馈控制器,转移了系统的一次Hopf分岔点;采用非线性状态反馈控制器,在不改变一次Hopf分岔点的前提下,转移了系统的二次Hopf分岔点;通过对通向混沌运动的准周期道路的控制来控制混沌运动,实现了对该系统混沌运动的延迟控制。研究了四维Qi系统Hopf分岔的反控制问题。在线性与非线性状态反馈控制共同作用下,在该系统原为鞍点的零平衡点上,创建了稳定的Hopf分岔行为。针对不同的分岔参数,设计了不同的控制方案。本文的研究工作丰富了非线性控制理论的研究内容,发展了分岔控制的研究方法,为高维系统分岔控制理论的建立作出了贡献,具有较大的理论意义和实际应用价值。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 非线性反馈控制理论概述
• 1.2 国内外相关领域的研究现状与进展
• 1.2.1 分岔控制理论的研究现状与进展
• 1.2.2 Hopf分岔控制的研究现状与进展
• 1.2.3 混沌控制的发展与现状
• 1.2.4 高维非线性系统的研究
• 1.3 本文的研究目的和主要研究内容
• 1.3.1 研究目的
• 1.3.2 主要研究内容
• 1.3.3 主要创新点
• 第2章分 岔控制理论基础
• 2.1 引言
• 2.2 稳定性理论
• 2.2.1 运动稳定性
• 2.2.2 结构稳定性
• 2.3 分岔的概念与分类
• 2.3.1 静态分岔
• 2.3.2 动态分岔
• 2.4 分岔理论的研究内容与方法
• 2.5 Hopf分岔理论
• 2.5.1 平面Hopf分岔定理
• 2.5.2 高维Hopf分岔理论
• 2.5.3 Hopf分岔判据
• 2.6 Hopf分岔控制方法
• 2.6.1 线性和非线性反馈控制方法
• 2.6.2 washout filter控制方法
• 2.6.3 频域分析方法
• 2.6.4 规范型方法
• 2.7 本章小结
• 第3章 三维动力系统极限环幅值控制
• 3.1 引言
• 3.2 极限环幅值的近似求解方法
• 3.2.1 三维系统极限环幅值的求解
• 3.2.2 Hopf分岔的临界性概念
• 3.2.3 控制器的设计以及极限环的幅控关系
• 3.2.4 简化的控制器以及极限环的幅控关系
• 3.3 Chen系统的极限环幅值控制
• 3.3.1 Hopf分岔分析
• 3.3.2 极限环幅值的近似求解
• 3.3.3 控制器的设计与极限环的幅控关系
• 3.4 平滑Chua系统的幅值控制
• 3.4.1 Hopf分岔分析
• 3.4.2 极限环幅值的近似求解
• 3.4.3 控制器的设计与极限环的幅控关系
• 3.5 本章小结
• 第4章 Langford系统一次和二次Hopf分岔反馈控制以及混沌控制
• 4.1 引言
• 4.2 Hopf分岔分析
• 4.2.1 一次Hopf分岔分析
• 4.2.2 极限环的定量分析
• 4.2.3.二次Hopf分岔分析
• 4.3 一次Hopf分岔的线性反馈控制
• 4.3.1 对分岔点（0,0,0;1.0）的控制
• 4.3.2 对分岔点（0,0,0.5;0.5）的控制
• 4.3.3 受控系统的极限环稳定性分析
• 4.3.4 受控系统的数值模拟
• 4.4 二次Hopf分岔的非线性反馈控制
• 4.4.1 非线性控制器的设计
• 4.4.2 受控系统的一次Hopf分岔周期解
• 4.4.3 控制增益与分岔参数之间的关系
• 4.4.4 受控系统的数值模拟
• 4.5 混沌控制
• 4.5.1 通向混沌运动的准周期分岔
• 4.5.2 非线性控制
• 4.6 本章小结
• 第5章 Langford系统的极限环幅值控制
• 5.1 引言
• 5.2 极限环的稳定性指标与幅值近似解
• 5.3 极限环幅值的非线性控制
• 5.3.1 控制公式
• 5.3.2 控制公式的几种简化情形
• 5.4 极限环幅值控制公式的具体应用
• 5.4.1 对控制公式简化情形1的直接应用
• 5.4.2 对控制公式简化情形3的直接应用
• 5.4.3 对控制公式简化情形4的直接应用
• 5.5 线性控制
• 5.6 本章小结
• 第6章 四维Qi系统的Hopf分岔分析与控制
• 6.1 引言
• 6.2 Hopf分岔分析
• 6.2.1 Hopf分岔产生条件
• 6.2.2 Hopf分岔数值模拟
• 6.3 极限环幅值控制
• 6.3.1 非线性控制
• 6.3.2 极限环的幅控关系
• 6.3.3 极限环幅值控制的数值模拟
• 6.4 本章小结
• 第7章 四维Qi系统的Hopf分岔反控制
• 7.1 引言
• 7.2 当分岔参数为a或b时的线性反控制
• 7.2.1 Hopf分岔的创建
• 7.2.2 线性控制下系统的Hopf分岔稳定性分析
• 7.3 当分岔参数为a或b时的非线性反控制
• 7.3.1 非线性控制器的设计
• 7.3.2 极限环的稳定性条件
• 7.4 当分岔参数为c或d时的控制方案
• 7.5 数值模拟
• 7.6 本章小结
• 总结与展望
• 参考文献
• 附录A 攻读博士学位期间所发表的学术论文
• 附录B 受控Qi系统规范型（6.13）中的非线性项
• 致谢