一类新（k，r）-arcs的精确值

论文摘要

在编码理论中,（k,r）-arcs与最大距离分离码（M.D.S码）之间是一一对应的,而M.D.S码又是纠正错误最多的编码,所以对编码理论的研究我们就转化为对有限射影空间中的（k,r）-arcs的研究.二维射影空间PG（2,q）上的（k,r）-arcs是一个含有r个点的非空集合,且这个集合满足任意r+1个点都是线性无关的.关于（k,r）-arcs存在性的研究已经有很多且很完美的结论,包括其存在性和上下界.由于（k,r）-arcs形式的多样性,所以对任意一个（k,r）-arcs中k的精确值的研究一直是个突出的难题.本文研究了有限射影空间中两类新的（k,r）-arcs,分别证明了这两类（k,r）-arcs的存在性,给出了相应的k的精确值的结构,并针对这两类arcs的结构得出了一些新的结论并予以证明.在给出我们的结论之前,在第1章介绍了与本文有关的一些背景知识,射影空间与编码理论的联系,以及射影空间与统计学的联系；为了方便我们后面对（k,r）-arcs的研究,在第2章介绍了与此相关的有限射影空间的基本概念和性质,包括其子空间和它的对偶性；在第3章用群论的思想给出了PG（2,pn）上（（pn-pm）（pn-1）,pn-pm）-arcs的结构,并证明了当pn-m≤3时,此结构的最优性；第4章中我们用计算二元组和三元组个数的方法给出并证明了当q=3n≥27时（k,3n-3n-1）-arcs中k的精确值的结构为mr（2,q）=（r-1）q+q-r.最后为了验证此种计算二元组和三元组方法的有用性,又用此种方法给出了另一类（k,r）-arcs的精确值,即m（?）+1（2,q）=（r-1）q+1.其中,本论文我们的主要工作是第3章和第4章,结合以往关于（k,r）-arcs的结论,给出并证明了我们给出的两类arcs的结构和相关结论.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 背景基础及发展过程
• 1.2 射影空间与编码理论的联系
• 1.3 射影空间与统计学的联系
• 1.4 论文的创新点及章节安排
• 第2章 预备知识
• 2.1 有限域的结构及一些基本性质
• 2.1.1 有限域的结构
• 2.1.2 有限域的一些基本性质
• 2.2 射影空间的基本知识
• 2.2.1 射影空间的概念及基本性质
• 2.2.2 射影空间的线性子空间
• 2.2.3 射影空间的对偶性
• 2.2.4 射影空间的特殊子空间
• n）上的一类（（pⁿ-p^m）（pⁿ-1）,pⁿ-p^m）-arcs'>第3章 PG（2,pⁿ）上的一类（（pⁿ-p^m）（pⁿ-1）,pⁿ-p^m）-arcs
• 3.1 引言
• pⁿ-p^m（2,pⁿ）的下界'>3.2 m_pⁿ-p^m（2,pⁿ）的下界
• n-3^n-1)-arcs'>第4章 PG（2,q）上最大阶(k,3ⁿ-3^n-1)-arcs
• 4.1 引言
• n-3^n-1-arcs的精确值'>4.2 (k,3ⁿ-3^n-1-arcs的精确值
• 结论
• 参考文献
• 致谢