论文摘要
非线性世界千变万化,流体力学中的非线性问题特别多。寻求解决这些非线性问题的数学方法是一件非常有意义的工作。同伦分析法是近年来提出和发展的一种求解非线性方程级数解的解析近似方法。基于代数拓扑中“同伦”的概念,同伦分析法通过构造零阶形变方程和高阶形变方程将原非线性问题转化为一系列线性子问题。与传统的摄动方法相比,同伦分析法完全不依赖于物理小参数,因此不仅适用于弱非线性问题,同样适用于强非线性问题。此外,同伦分析还具有诸多自由性,可以更优雅地与物理问题本身相结合。由于这些优点,同伦分析法已经广泛地被应用于力学、传热学、物理学、应用数学、金融学等各个自然科学与社会科学领域。本论文中我们将应用同伦分析法求解若干流体力学和金融数学中有着实际应用价值和理论意义的问题。首先,考察了波流相互问题。在深海中,一列行进波遇到定常流。来流的速度剖面具有指数分布形式。从方程角度,这是一个椭圆型自由边界问题。通过坐标变换,将自由边界固定,得到一个以非线性项为主的控制方程。在采用同伦分析法的时候,我们从物理角度入手,充分利用同伦分析法具有诸多的自由性,选择解表达、线性算子等。在得到收敛的高阶结果之后,我们重点研究了波流共同场中各个可能关心的物理量,仔细分析了波流相互作用后的波速、波高、速度剖面、波形、水微团动能、波幅衰减等方面的变化。指出波流相互作用的关键是涡量。深水波与均匀流是不会产生非线性作用的。结果表明:（1）波浪在顺流中比静水中传播得快,静水中又比逆流中传播的快;（2）顺流使得波峰更尖锐、波谷更平坦,逆流的作用则正好相反;（3）波幅和流体速度在沿水深方向上的衰减速度在顺流中比静水中快、在静水中比逆流中快。我们还将Stokes波浪破碎的运动学条件进行推广,从静水中的深水波推广到了非均匀来流上的深水波。有逆流时,深水波可以比在静水中更高、更陡。特别地,我们考察了纯波和纯流这两个极端情况。在这两个极端情况下,我们的的级数解与之前的理论结果吻合得很好,因此也验证了本方法的有效性。其次,考察了粘性边界层流动的若干具体实例（包含本论文的第三至第六章）。在第三章,考察了拉伸平板上的非定常滞止流动。非定常边界层方程是一个含有非线性项的抛物型方程。我们发现这类方程具有很大的常微分性质。因此,在应用同伦分析法时,我们使用的是类似常微分方程的处理方法。与摄动解相比,我们得到的高阶级数解在整个时间域上一致有效。我们讨论了外部势流与平板拉伸速度对流体速度剖面与表面磨擦系数的影响。在第四章,考察了多孔介质中垂直放置的受热平板上驻点附近的非定常混合对流。同第三章一样,求得了在整个时间域上高阶一致收敛的解。并讨论了混合传导系数对热传导现象的影响。在第五章,考察了纳米边界层流动。实验和理论表明,在微观状态中,经典边界层理论中的不可滑移条件不再成立。取而代之的是允许一定程度的可滑移条件。采用广义Navier可滑移条件,我们分别研究了三种常见的边界层流动问题:（1）楔角流动;（2）逐渐变小狭道内的流动;和（3）指数变化外流驱动的流动。得到了高阶收敛的级数解后,我们讨论了滑移长度和其它物理参数对速度剖面与切应力的影响。在第六章,考察了两种常见纳米边界层流动的传热问题,分别是线性Navier条件下的（1）二维滞止流;和（2）三维轴对称滞止流。讨论了不同流体在有壁面速度滑移与温度跳跃时的不同性质。最后,考察了一种常见的金融衍生物——美式看跌期权问题。美式看跌期权的持有人可以在期权到期日前的任何一个交易日以敲定价格出售一定数量和质量的原生资产。从方程角度来说美式看跌期权问题是一个具有移动边界性质的抛物型方程。同第二章的波流自由边界问题相比,美式期权问题的移动边界在到期日存在奇性。在运用同伦分析法时,我们使用了一个复杂偏微分线性算子,结合Laplace变换求得形式解,然后对形式解做泰勒展开近似。这个思路为以后同伦分析法求解复杂非线性问题提供了借鉴价值。与前人工作相比,本文的最大贡献在于:（1）抛弃了固定移动边界的Landau变换,或者类似的变换,而是在同伦分析法的框架下直接求解。因此,运用该方法求解自由（移动）边界问题具有普遍意义;（2）给出了一个在实际金融环境下足够精确的最佳实施边界的显式表达式。推导过程中没有进行任何数值计算,也不包含任何待定参数;（3）近似解的收敛速度很快。运用本论文推导的公式只需要几秒钟就可以得到精确的解;（4）所有之前的解析近似公式都只能适合有效期非常短的期权（例如:一、两个月）。而我们推导的解析近似解可以在相当长的时间内有效（例如:两、三年）。采用了Pad′e方法之后,我们的近似解可以应用于具有更长有效期的期权。就作者所知,如此精确,而且形式简洁的近似解是第一次提出。综上所述,从方程角度,本论文重点关注具有自由（移动）边界性质的偏微分方程。分别为:具有自由液面的波浪方程,和具有最佳实施边界的Black-Sholes方程。从问题本身,本论文重点关注了流体力学中的波流相互作用、纳米边界层流动、非定常边界层流动等问题,和金融学中的美式看跌期权问题。本论文的主要创新点可以从力学、金融学和数学三方面来概括。一、在力学上（1）首次提出了不仅适合弱非线性,同样适用于强非线性条件的波流相互作用的解析方法。波浪不必是小幅波,来流也不必是弱流。揭示了深水波与来流相互作用的键是来流的涡量。（2）对几种非定常边界层流动,第一次给出了在整个时间域上一致有效的级数解。二、在金融学上（3）首次给出了在实际金融环境下非常精确的美式看跌期权最佳实施边界的解析近似。与所有之前的解析近似解相比,我们得到的解析近似解不包含任何待定参数,是一个显式的表达式,它的有效范围至少扩大15倍。三、在数学上（4）运用两种不同的途径求解自由（移动）边界问题。在波流问题中,通过引入一个坐标变换将自由边界问题转化为固定边界问题之后进行求解。而在美式看跌期权问题中,我们使用的是在同伦分析法的框架下直接求解。其中第二种途径具有普遍意义。（5）在波流问题中,我们提出了从物理背景角度,而不是方程本身选取线性算子。线性算子可以与原方程的形式无关。结合物理背景的求解思路大大简化了非线性方程的求解过程。（6）在同伦分析法的框架下求解美式看跌期权方程时,首次采用了一个复杂偏微分线性算子。结合Laplace变换,得到原问题的形式解。然后对形式解做泰勒展开求得级数近似。这个方法丰富了同伦分析法,为日后求解复杂偏微分方程问题提供了一条新的思路。本论文的工作不但进一步探讨了同伦分析法在不同领域、不同类型问题中的应用,更为实际力学、工程和金融问题提供了可供参考的理论依据。
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