论文摘要
双线性方法,又称直接方法,是由日本数学家Ryogo Hirota发明的,该方法可以统一地用来解决许多非线性偏微分方程问题.其基本思想是通过变换将一个非线性偏微分方程改写成双线性导数方程,并由双线性导数方程的解而得到原方程的解.双线性方法的优点是并不要求所研究的非线性偏微分方程具有Lax对,即可用于许多不可积方程的研究.但是,究竟什么样的非线性偏微分方程可以写成双线性导数方程?一个非线性偏微分方程与相应的双线性导数方程之间是否（局部）等价?这些问题长期以来并没有得到解决.Backlund变换最初是由瑞典几何学家Albert Victor Backlund在研究三维欧氏空间中的负常高斯曲率曲面时发现的sine-Gordon方程解之间的一个变换,并将之成功地应用于负常高斯曲率曲面,其基本思想是将一个非线性偏微分方程的求解转化为两个或多个相容的常微分方程的求解.随着可积系统理论的发展,Backlund变换已经成为求解非线性偏微分方程的一种重要方法,许多重要的非线性偏微分方程,如KdV方程和KP方程,都有Backlund变换,由此可得到这些方程的孤子解以及解的非线性叠加原理.本文对于Hirota和Satsuma引入的浅水波模型方程研究上述两个方面的问题.首先用摄动方法求解双线性化浅水波模型方程,进而得到浅水波模型方程的解;接着研究如何从浅水波模型方程的解得到相应的双线性化方程的解,并由此证明浅水波模型方程与对应的双线性化方程之间局部等价.我们给出两个例子,说明如何由浅水波模型方程的平凡解而得到双线性化浅水波模型方程的（非平凡）解.另外,本文给出了两种形式的Backlund变换,一种是经典的双线性浅水波模型方程到其自身的Backlund变换,而另一种是浅水波模型方程到其双线性化方程的Backlund变换（我们称之为新的Backlund变换）,由一个初始条件满足某种限制条件的二阶常微分方程来定义.本文的方法适用于其它相关非线性偏微分方程的研究.
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