无网格法基函数的改进与应用

论文摘要

随着计算机的发展,有限元法已经成为科学与工程中主要的数值计算方法,并在各个领域中得到了广泛的应用。但有限元法也有解决不理想的问题,无网格法为有效的解决这些问题带来了希望。无网格法在效率等方面还存在诸多的问题有待于研究,本文主要对基函数的性质进行研究。本文介绍了无网格法所涉及的基本原理,并对基函数、权函数、形函数的性质、离散方案、本质边界条件的施加、不连续性处理、积分求解方案等问题做了简述。在内积空间的定义下,基于无网格伽辽金法,对基函数的性质进行研究,推导了无网格形函数及其导函数的表达式,内积的书写形式便于研究基函数的性质与推导形函数及其导数。基于效率的考虑,使用正交基函数作为无网格法的基函数,对形函数及其导数的表达式进行了推导,并对正交基函数进行改进。对多项式基、正交基、改进正交基构成的形函数及导函数进行对比,从数学的角度来说,三者的精度是一样的,但正交基不需要对矩阵求逆,可提高计算效率,克服了求解病态方程组带来的困难;改进正交基具有正交基的特性,在求高阶导数时较正交基更具有优势。提出了局部正交无网格法,用局部正交无网格法进行振动分析与裂纹应力强度因子的计算。工程结构和机械设备在长时间疲劳、腐蚀、磨损的作用下,往往出现多处裂纹,容易造成灾难性事故,对结构进行断裂可靠性分析具有重要现实意义。文中将材料参数、裂纹尺寸、载荷等影响结构可靠性的因素视为随机变量,采用径向基函数神经网络模拟结构的极限状态函数及其导函数,基于无网格法对含多裂纹结构进行断裂可靠性分析。

论文目录

• 提要
• 第1章 绪论
• 1.1 无网格法的历史及研究现状
• 1.1.1 光滑质点流体动力学法
• 1.1.2 散射元法
• 1.1.3 无单元伽辽金法
• 1.1.4 重构核质点法
• 1.1.5 有限点法
• 1.1.6 Hp 云团法
• 1.1.7 单位分解法
• 1.1.8 无网格彼得洛夫伽辽金法
• 1.1.9 杂交边界点法
• 1.1.10 最小二乘无网格配点法
• 1.2 无网格法近似方案简介
• 1.2.1 核函数近似
• 1.2.2 移动最小二乘近似
• 1.2.3 单位分解近似
• 1.2.4 重构核粒子近似
• 1.2.5 径向基函数插值
• 1.3 无网格法的基函数
• 1.4 无网格法小结
• 1.5 本文的主要工作
• 第2章 基于移动最小二乘的无网格法
• 2.1 离散方案
• 2.2 移动最小二乘近似
• 2.2.1 移动最小二乘近似原理
• -1 的导数'>2.2.2 矩阵A^-1的导数
• 2.2.3 权函数
• 2.3 无网格法形函数的性质
• 2.4 无网格法中边界条件的处理
• 2.4.1 配点型无网格法的约束处理
• 2.4.2 拉格朗日乘子法
• 2.4.3 罚函数法
• 2.4.4 与有限元耦合法
• 2.5 不连续性处理
• 2.5.1 可视性准则
• 2.5.2 衍射准则
• 2.5.3 透射准则
• 2.6 无网格法的残差控制方案
• 2.6.1 配点法
• 2.6.2 Galerkin 方法
• 2.6.3 Local Petrov-Galerkin 方法
• 2.7 小结
• 第3章 无网格法中基函数性质的研究
• 3.1 内积空间
• 3.1.1 内积的定义
• 3.1.2 标准正交基
• 3.1.3 内积空间中的正交系
• 3.2 无网格法正交基函数的研究
• I （ x ） 及其导数φ_{I ,i}（ x ） 的影响'>3.2.1 正交基函数对原形函数φ_I （ x ） 及其导数φ_{I ,i}（ x ） 的影响
• 3.2.2 正交基函数高阶导数的研究
• 3.3 正交基形函数的改进及比较
• 3.3.1 正交基形函数的改进
• 3.3.2 改进正交基形函数导数
• 3.4 小结
• 第4章 改进正交基函数的应用
• 4.1 无网格伽辽金法
• 4.1.1 基本原理
• 4.1.2 无网格伽辽金法实现过程
• 4.1.3 受线性分布载荷作用的杆
• 4.1.4 端部受载的悬臂梁
• 4.2 最小二乘无网格法
• 4.2.1 基本原理
• 4.2.2 实现过程
• 4.2.3 超静定一维梁
• 4.2.4 中心带孔板
• 4.3 局部正交无网格法
• 4.3.1 基本原理
• 4.3.2 悬臂梁振动分析
• 4.3.3 应力强度因子的计算
• 4.4 小结
• 第5章 含多裂纹结构的断裂可靠性分析
• 5.1 结构可靠性的基本概念
• 5.1.1 结构的极限状态
• 5.1.2 结构可靠度
• 5.1.3 结构可靠度指标
• 5.1.4 结构可靠度指标的几何意义
• 5.2 应力强度因子
• 5.3 多裂纹结构断裂可靠性模型
• 5.4 结构可靠度的计算方法
• 5.4.1 Monte Carlo 法
• 5.4.2 一次二阶矩法
• 5.4.3 随机有限元法
• 5.4.4 响应面法
• 5.5 RBF 神经网络响应面法
• 5.5.1 RBF 神经网络模型
• 5.5.2 RBF 神经网络响应面法计算过程
• 5.6 数值算例
• 5.7 小结
• 第6章 结论与展望
• 6.1 本文的主要工作和结论
• 6.2 本文的创新点
• 6.3 展望
• 参考文献
• 作者在攻读博士期间的科研情况简介
• 摘要
• ABSTRACT
• 致谢