带跳的随机微分方程的极限定理及其在金融中的应用

论文摘要

随机微分方程是一个经典课题,在数理金融中有着重要的应用.通常我们用布朗运动驱动的随机微分方程来描述资产价格的运动.然而,很多重大事件如新发明、战争、经济政策等都能引起价格的突然跳跃.因此,相对于连续的扩散过程,带跳的随机微分方程能更好地描述市场的行为.本文考虑了具有非负解的带跳的随机微分方程的极限定理及其在金融中的应用.首先,我们得到了带跳的随机微分方程的小噪音渐近结果.在一定假设条件之下,证明系数满足Lipschitz条件的带跳随机微分方程的一致大偏差结果成立.在此基础之上,进一步证明了系数非Lipschitz的在零点附近退化的带跳随机微分方程大偏差成立.我们用这个结果来解释具有均值回归性质的资产例如股票价格的概率行为.其次,我们得到了简单Lévy市场上的最优投资的稳定性结果.考虑一个简单Lévy市场,也就是股票价格由一个布朗运动和一个泊松过程驱动.投资者在这样的市场投资,目的是使最终财富的期望效用达到最大.当效用函数为HARA、指数和对数型时,我们分别得到了最优投资的显式解,并且证明了当HARA效用函数中的参数变化时所对应的最优策略在弱收敛意义下的稳定性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 综述
• Introduction
• 1 Small noise asymptotic results for stochastic differential equations with jumps
• 1.1 Introduction
• 1.2 Uniform large deviation principle for stochastic differential equations with jumps
• 1.3 Large deviation principle for degenerate stochastic differential equations with non-Lipschitz coefficients
• 1.4 Some applications in finance
• 2 Some stability results of optimal investment in a simple Levy market
• 2.1 Introduction
• 2.2 The financial market model
• 2.3 The explicit solution for optimal investment
• 2.3.1 The optimization problem
• 2.3.2 The solution
• 2.4 Weak convergence results
• 2.5 Conclusions
• Referenee
• 作者在攻读博士学位期间的工作
• 致谢