论文摘要
本文为四阶常微分方程边值问题解的存在性的研究综述,以几类常见的边界条件的四阶常微分方程的研究为主线,简要回顾了最近十多年来四阶常微分方程边值问题的研究状况以及所取得的研究成果,集中对解的存在性,多重性和非存在性以及对所使用的研究方法进行阐述.本文共分四章.第一章的上半部分回顾了常微分方程理论的产生和发展过程并引入了四阶常微分方程的各种边值问题,下半部分介绍了一些基本概念和预备引理.第二章介绍了利用不动点指标理论、上下解方法和锥拉伸与锥压缩不动点定理来证明四阶常微分方程两点边值问题解的存在性和多重性的方法,所讨论的方程包括非线性项不依赖未知函数二阶导数的情形（奇异和非奇异的）和非线性项依赖未知函数二阶导数的一般情形.首先利用不动点指标理论给出如下边值问题多重正解存在的充分条件.这里函数f满足（H1）f：[0,1]×[0,∞)→[0,∞)连续；（H3）令.存在p>0,使得当x∈[0,1],y∈[0,p]时,0<f（x,y）<Ap;（H5）令.存在p>0,使得当x∈[1/4,3/4],y∈[1/24p,p]时,有f（z,y）>Bp.定理1若f（x,y）满足假设（H1）,（H2）,（H3）,则边值问题（1）至少存在两个正解u1,u2使得0<u1<p<u2.定理2若f（x,y）满足假设（H1）,（H4）,（H5）,则边值问题（1）至少存在两个正解u1,u2满足0<u1<p<u2.对于奇异的情形,当f满足如下假设时,也可借助不动点指标理论证明问题（1）至少存在两个正解.（H1’）f∈C（（0,1）×（0,∞）,R+）且f（t,u）≤g（t）h（u）,其中h∈C（（0,+∞）,R+）,且对任意0<r<R,有这里hr,R（t）（?）max{h（u）:u∈[q（t）r,R]),q（t）由（2.2）给出；（H2’）存在φ∈L1[0,1],使得关于t∈（0,1）一致成立,且满足（H3’）存在a（t）,b（t）∈C（[0,1],R+）,使得其中a（t）满足在[0,1]的任意子区间上a（t）（?）0；（H4’）存在R>0使得定理3假设条件（H1’）-（H4’）成立,且r（L）>1,则边值问题（1）至少有两个正解.对于非线性项依赖于未知函数二阶导数的情形借助于上下解方法可以得到如下的存在性结果.定理4假设问题（2）存在上解a和下解β满足β≤α,β"≥α".函数f∶[0,1]×R×R→R是连续的,且满足f（t,u2,v）-f（t,u1,v）≥0,β（t）≤u1≤u2≤α（t）,ν∈R,t∈[0,1], f（t,u,v2）-f（t,u,v1）≤0,α"（t）≤v1≤v2≤β"（t）,u∈R,t∈[0,1].那么存在单调递减的序列{αn}n=0∞和单调递增的序列{βn}n=0∞,分别一致收敛于问题（2）于[β,α]上的最大解和最小解,这里α0=α,β0=β.定理5假设问题（2）存在上解α和下解β满足β≤α,β"+r（α-β）≥α".函数f:[0,1]×R×R→R是连续的且满足当β（t）≤u1≤u2≤α（t）,v∈R,t∈[0,1]时, f（t,u2,v）-f（t,u1,v）≥-b（u2-u1）,当v2+r（α-β）≥v1,a"+r（α-β）≤v1,,v2≤β"+r（α-β）,u∈R,t∈[0,1]时, f（t,u,v2）-f（t,u,v1）≤a（v2-v1）,这里a,b≥0,a2-4b≥0,r1,2=（a±（?））/2.那么存在单调递减的序列{αn}n=0∞和单调递增的序列{βn}n=0∞,分别一致收敛于问题（2）于[β,α]上的最大解和最小解.第三章介绍了利用上下解方法和锥拉伸与锥压缩不动点定理证明四阶常微分方程多点边值问题解的存在性的方法,所讨论的方程包括非线性项f不依赖弯矩项u"的情形,非线性项依赖于弯矩项u"的情形和依赖于未知函数三阶导数的情形.对于问题其中a,b,c,d是非负常数,0≤ξ1<ξ2≤1,有如下存在性结果.定理6若下列条件成立：（B1）a,b,c,d,ξ1,ξ2是非负常数,且满足0≤ξ1<ξ2≤1,b-aξ1≥0,d-c+cξ2≥0,δ=ad+bc+ac（ξ2-ξ1）≠0；（B2）f（t,u）∈C（[0,1]×[0,∞）,R+)关于u单调不减,当f∈（ξ1,ξ2）时,f（t,t（1-t））（?）0,并且存在常数0<μ<1使得对任意0≤k≤1,有kμf（t,u）≤f（t,ku）.则边值问题（3）至少存在一个正解.当问题（3）中的非线性项f=f（t,u,u"）时,记利用锥拉伸与锥压缩不动点定理可得定理7若函数f满足下列条件：（C1）f∈C（[0,1]×[0,∞）×（-∞,0],[0,∞）)；（C2）f次线性,即min f0=+∞,max f∞=0.则边值问题（3）至少存在一个正解.定理8若函数f满足条件（C1）,且如下条件成立：（C3）f是超线性的,即max f0=0,min f∞=+∞.则问题（3）至少存在一个正解.通过改进上述正解存在性的条件,可以证明问题（3）存在多重正解.定理9设函数f满足（C1）,并且同时满足以下两个条件：（C4）min f0=min f∞=+∞；（C5）存在常数l1>0,使得对任意t∈[0,1],x∈[0,l1],-y∈[0,l1]有则问题（3）至少存在两个正解u1,u2满足0<‖u1‖2<l1<‖u2‖2.定理10设函数f满足（C1）,并且同时满足以下两个条件：（C6）max f0=max f∞=0；（C7）存在常数l2>0,使得对任意t∈[0,1],x∈[0,l2],-y∈[l2/4,l2]有则问题（3）至少存在两个正解u1,u2满足0<‖u1‖2<l2<‖u2‖2.利用上下解方法和Schauder不动点定理,可以得到非线性项依赖于未知函数三阶导数的多点边值问题解的存在惟一性：这里a,b,c,d≥0,ρ=ad+bc+ac>0,f:[0,1]×R4→R是连续函数.定理11设v,w是问题（4）的上、下解,且满足w"（t）≥v"（t）,f满足关于w",v"的Nagumo条件,则问题（4）至少存在一个解满足w（t）≤u（t）≤v（t）,w’（t）≤u’（t）≤v’（t）, v"（t）≤u"（t）≤w"（t）,t∈[0,1].定理12设w,v是问题（4）的下解与上解,f满足关于w",v"的Nagumo条件.若f（t,x1,x2,x3,x4）关于x1,x2单调递减,关于x4严格单调递增,则问题（4）存在惟一解u（t）满足w（t）≤u（t）≤v（t）,w’（t）≤u’（t）≤v’（t）,v"（t）≤u"（t）≤w"（t）,t∈[0,1].第四章介绍了利用上下解方法和不动点指标定理来证明四阶常微分方程周期边值问题解的存在性,多重性和不存在性的方法.对如下形式的四阶方程周期边值问题：假设非线性项f满足下面两个条件：（D1）对任意给定的β,α∈C[0,2π],β（t）≤α（t）,t∈[0,2π],存在0<A≤B使得当β（t）≤u≤α（t）时,对几乎所有的t∈[0,2π]和v1,V2∈R,v1≤v2,都有A（v2-v1）≤f（t,u,v2）-f（t,u,v1）≤B（v2-v1）；（D2）对几乎所有的t∈[0,2π]和一切v∈R,当β（t）≤u1≤u2≤α（t）时,有关于问题（5）有下述存在性结果：定理13设问题（5）存在下解β（f）与上解α（f）满足β（t）≤α（t）,t∈[0,2π],函数f（t,u,v）满足Caratheodory条件.若条件（D1）,（D2）成立,则存在一个单调非减序列{βj}j=0∞和一个单调非增序列{αj}j=0∞。分别单调一致收敛于问题（5）在序区间[β,α]上的最小解和最大解,这里β0=β,α0=α,[β,α]={u∈C[0,2π]:β（t）≤u（t）≤α（t）,t∈[0,2π]}.当非线性项f仅满足单边Lipschitz条件时,也可证明周期边值问题（5）存在解.定理14设问题（5）存在下解β（t）与上解α（f）满足β（t）≤α（t）,t∈[0,2π],函数f（t,u,v）是Caratheodory函数且满足条件（D3）对任意给定的β,α∈C[0,2π],β（t）≤α（t）,t∈[0,2π],存在a,b>0,b2≥4a,使得当β（t）≤u1≤u2≤α（t）,v1,v2∈R,v1≤v2时,对几乎所有的t∈[0,2π],都有f（t,u2,v2）-f（t,u1,v1）≥-a（u2-u1）+b（v2-v1）.则问题（5）存在解u∈W4,1[0,2π]满足β（t）≤u（t）≤α（t）.定理15设问题（5）存在下解β（t）与上解α（t）满足β（t）≤α（t）,t∈[0,2π],函数f（t,u,v）满足条件（D4）存在常数C,D>0,D<4C+1/4,D2>4C,使得当β（t）≤u1≤u2≤α（t）, v1,v2∈R,v1≤v2时,对几乎所有的t∈[0,2π],都有f（t,u2,v1）-f（t,u1,v2）≥-C（u2-u1）-D（v1-v2）.则问题（5）存在解u∈W4,1[0,2π],且满足β（t）≤u（t）≤α（t）.最后介绍应用锥中的不动点指标定理证明周期边值问题正解的存在性和多重性的方法和相应的结果,其中f：[0,1]×R+→R+是连续的,a,b∈R满足0<a<（b/2+2π2）2,b+2π2>0,a/π4+b/π2+1>0.记定理16若函数f满足下列条件之一（E1）f0<a,f∞>a；（E2）f0>a,f∞<a.则问题（6）至少存在一个正解.定理17若存在两个正常数c,d使得φ（c）<a,φ（d）>a,则问题（6）至少存在一个正解u∈K满足min{c,d}<||u||<max{c,d},这里φ（l）=max{f（t,c）/c:t∈[0,1],c∈[σ-l,l]},φ（l）=min{f（t,c）/c:t∈[0,1],c∈[σl,l]},定理18假设存在n+1个正数a1<a2<…<an+1使得下面两个条件之一成立：.则问题（6）至少存在n个正解uk∈K满足ak<||uk||<ak+1,k=1,2,…,n.最后给出问题（6）没有解的充分条件.推论如果下列条件之一成立：（E23）φ（l）<a,l∈（0,+∞）；（E24）φ（l）>a,l∈（0,+∞）.则问题（6）在K中没有解.