论文摘要
本文讨论的流体控制问题是一个活跃和卓有成效的研究课题,在石油、化工、航空等工程领域有着广泛应用,并带来了很大的社会和经济效益,众多国内外学者在这方面做出了突出贡献。与其它最优控制问题一样,有效的数值求解方法在流体控制问题的成功应用中扮演着十分重要的角色.到目前为止,有限元方法无疑是数值求解流体控制问题和其他控制问题的最重要的方法,在控制变量正则性比较低的情况下,有限元逼近也能得到较好的收敛结果.近年来,自适应有限元方法和混合有限元方法在数值求解各类最优控制问题上得到迅速发展,而谱方法也被运用于数值求解无约束最优控制问题.谱方法是一种既古老又新兴的数值求解偏微分方程的方法.近四十年来,谱方法不仅广泛地运用于气象、物理、力学等诸多领域的数值计算,而且它的数值分析理论也不断地完善.至今,谱方法已和差分方法、有限元方法一起成为偏微分方程数值求解的第三种方法.谱方法的无穷阶收敛性是差分方法和有限元方法所无法比拟的,当控制问题的解的正则性较好时谱方法逼近的计算量相对较小,并能得到高阶收敛结果,这样的情况下我们考虑用谱方法数值求解最优控制问题.本文我们引用文献[46]提供的勒让德伽略金方法去数值求解Stokes方程分布最优控制问题.通过选择适当的流速和压力的离散空间使得离散问题满足Babuska-Brezzi条件,而对离散空间构建适当的基函数则使得离散方程组的系数矩阵稀疏.我们首先获得无约束时控制问题的勒让德伽略金逼近先验误差估计,当状态变量属于Hm（Ω）时流速的误差阶为O(N1-m),压力的误差阶为O(N3/2-m).然后,对于积分型约束时的控制问题,由于在此类约束集下的控制函数的光滑性比较好,我们用勒让德伽略金方法去数值求解该问题,通过引用合适的辅助系统分别得到了它的先验和后验误差估计,其中先验估计的误差阶与无约束情形相同.最后,通过两个数值例子验证了前面得到的误差估计结果.
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