几类时滞微分方程的数值稳定性分析

论文摘要

本文的研究工作主要包括对非线性多比例时滞微分方程解析解及相应数值方法的稳定性方面的分析,还有对分段连续型微分方程的解析解和数值解的稳定性讨论,得到了数值解的稳定区域包含解析解的稳定区域的条件。这里,所用的数值方法主要是单支θ-方法和线性θ-方法这两种常用的数值方法。这篇论文主要由四部分的内容构成。首先,概要地回顾了时滞微分方程的发展历史和研究意义。进一步,对时滞微分方程的解析解和数值解的研究成果进行了简明的介绍。其次,针对非线性多比例时滞微分方程,分析了其解析解的稳定性质,并证明了在一定的条件下,非线性多比例时滞微分方程是稳定的。进一步,又以非线性多比例时滞微分方程的分析为基础,给出了线性多比例时滞微分方程的相应结果。接下来,通过引入一类变步长格式,应用单支θ-方法和线性θ-方法求解非线性多比例时滞微分方程。在一定的条件下对于非线性多比例时滞微分方程应用变步长单支θ-方法,证明当θ∈[ 12,1]时此类方程的变步长单支θ-方法是稳定的。与此同时,还获得了非线性多比例时滞微分方程变步长线性θ-方法应用于该方程是渐近稳定的条件。最后,讨论了分段连续型微分方程x′（ t ） = ax （t ） + a1 x （[t + 3]）的解析解的稳定性,得出其渐近稳定的一个充分必要条件。进一步,又应用θ-方法求解此分段连续型微分方程,得到了相应的数值稳定区域,给出了数值解的稳定区域包含解析解的稳定区域的一个充分必要条件。接着,又应用线性θ-方法求解了微分方程x′（ t ） = ax （t ） + a1 x （[t + p]）,给出了此类方程数值方法是渐近稳定的一个充分条件,得出了数值解的稳定区域包含解析解的稳定区域的充分条件。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景及研究的目的和意义
• 1.2 时滞微分方程的研究现状
• 1.2.1 时滞微分方程的解析解
• 1.2.2 时滞微分方程的数值解
• 1.3 本文主要研究内容
• 第2章 非线性多比例微分方程的稳定性
• 2.1 引言
• 2.2 非线性多比例方程解析解的稳定性分析
• 2.3 本章小结
• 第3章 非线性多比例微分方程θ-方法的稳定性
• 3.1 引言
• 3.2 单支θ-方法的稳定性分析
• 3.3 线性θ-方法的渐近稳定性分析
• 3.4 本章小结
• 第4章 分段连续微分方程θ-方法的稳定性
• 4.1 引言
• 1x（[t+3]） 解析解的稳定性'>4.2 方程x′（t） = ax（t）+a₁x（[t+3]） 解析解的稳定性
• 1x（[t+3]） θ-方法的稳定性'>4.3 方程x′（t） = ax（t）+a₁x（[t+3]） θ-方法的稳定性
• 4.4 数值算例
• 1x（[t+p]）的线性θ-方法稳定性'>4.5 方程x′（t） = ax（t）+a₁x（[t+p]）的线性θ-方法稳定性
• 4.6 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢