几类随机微分方程数值方法的稳定性分析

论文摘要

随机微分方程广泛出现于经济学、生物学、物理学、电子、无线电通讯等领域.由于随机微分方程的解析解很难直接获得,其数值方法的研究越来越引起人们的重视.本文主要讨论几类随机微分方程数值方法的稳定性.第一章简单介绍问题产生的背景和数值方法稳定性研究的现状,并给出本文的主要工作概要.第二章首先研究线性标量随机微分方程数值方法的几乎必然和p（0<p≤2）阶矩稳定性.对向前无导数格式（FDFS）,分步向后欧拉方法（SSBE）, Heun格式,Milstein方法以及包含Ito系数的1阶Runge-Kutta方法（FRKI）证明了当步长充分小时它们能保持解析解的稳定性.随后进一步研究FDFS格式、向后无导数格式（BDFS）以及SSBE方法关于非线性随机微分方程的指数稳定性,并将结果推广到多维噪声的情形.第三章考察随机延迟微分方程数值方法的延迟依赖稳定性.对Euler-Maruyama方法证明了当时间步长适当小时该方法能保持一类非线性随机延迟微分方程解析解的延迟依赖指数稳定性.之后,我们将结论推广到变延迟随机微分方程.第四章讨论Backward-Euler方法的延迟依赖指数稳定性.对第三章中的问题类,我们证明了Backward Euler方法是无条件均方指数稳定的.第五章研究随机θ方法的延迟依赖渐近稳定性和指数稳定性.对一类非线性随机延迟方程,获得数值方法均方渐近稳定和指数稳定的步长约束条件.特别是,当θ∈[1/2,1]时,方法对所有约束网格都是均方渐近稳定的.第六章首先给出显式Milstein方法能保持随机延迟微分方程解析解的延迟依赖指数稳定性的充分条件,然后讨论半隐式Milstein方法的延迟依赖指数稳定性.第七章研究随机延迟微分方程的分步欧拉方法的均方稳定性.利用离散的半鞅收敛定理证明了两类分步向前欧拉方法DRSSE和DISSE的几乎必然指数稳定性.此外还研究了分步向后欧拉方法的延迟依赖稳定性.第八章研究非线性中立型随机延迟微分方程随机θ方法的均方稳定性.证明了（i）当θ∈[1/2,1]时,具有任意步长的随机θ方法都是均方渐近稳定的；（ii）当θ∈[0,1/2)时,步长适当小的随机θ方法是均方渐近稳定的.数值试验结果验证了文中所获理论结论的正确性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 1 绪论
• 1.1 问题的背景
• 1.2 数值方法稳定性的发展概况
• 1.3 本文的主要工作
• 2 随机微分方程数值方法的几乎必然与矩指数稳定性
• 2.1 引言
• 2.2 预备知识
• 2.3 线性标量方程数值方法的稳定性
• 2.4 非线性稳定性
• 2.5 多维布朗运动情形
• 2.6 小结
• 3 随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的延迟依赖稳定性
• 3.1 研究背景
• 3.2 预备知识
• 3.3 常延迟随机微分方程Euler-Maruyama方法的稳定性
• 3.4 变延迟随机微分方程Euler-Maruyama方法的稳定性
• 3.5 数值试验
• 4 随机延迟微分方程Backward-Euler方法的延迟依赖稳定性
• 4.1 常延迟随机微分方程Backward-Euler方法的稳定性
• 4.2 变延迟随机微分方程Backward-Euler方法的稳定性
• 4.3 数值算例
• 5 随机延迟微分方程随机θ方法的延迟依赖稳定性
• 5.1 随机θ方法的渐近稳定性
• 5.2 随机θ方法的指数稳定性
• 5.3 数值算例
• 6 随机延迟微分方程Milstein方法的延迟依赖稳定性
• 6.1 引言
• 6.2 Milstein方法的延迟依赖稳定性
• 6.3 半隐式Milstein方法的稳定性
• 6.4 数值试验
• 7 随机延迟微分方程分步欧拉方法的稳定性
• 7.1 预备知识
• 7.2 线性SDDEs分步向前欧拉方法的稳定性
• 7.3 非线性SDDEs分步向前欧拉方法的稳定性
• 7.4 分步向后欧拉方法的延迟依赖稳定性
• 7.5 数值试验
• 8 非线性中立型随机延迟微分方程随机θ方法的稳定性
• 8.1 引言
• 8.2 NSDDEs及其解析解的稳定性分析
• 8.3 随机θ方法的稳定性分析
• 8.4 多维布朗运动情形
• 8.5 数值算例
• 致谢
• 参考文献
• 攻读学位期间发表和完成的论文目录