论文摘要
在偏微分方程中，凸性长期以来都是人们感兴趣的问题。它描述了椭圆偏微分方程解的一个重要的几何性质，尤其是那些微分几何问题中出现的方程。常秩定理是处理关于凸性问题的一个精妙理论，它在偏微分方程解的几何性质及其微分几何中的应用有着深刻意义。本文中，我们将利用常秩定理对一类Hessian方程给出几个凸性的结果。同时，运用[21]中的思想我们还能得到相应Hesaian算子的第一特征值的关于区域的Brunn-Minkowski不等式，关键是利用了“严格”的凸性结果。主要结果为 定理0．1．设Ω为R3中光滑有界严格凸区域，若u∈C∞（（?））为的允许解，则-（-u）1/2严格凸，且凸性指标1/2最佳。 定理0．2．设Ω为R3中光滑有界严格凸区域，若u∈C∞（Ω）∩ C1,1（（?））为的允许解，则-log（-u）严格凸。 在解具有上述正则性的情况下，我们还进一步得到S2第一特征值λ的Brunn-Minkowski不等式，即λ-1/4为区域的凹函数，描述如下。 定理0．3．对任意两个3维凸体K0，K1和t∈[0,1]，λ满足不等式 λ（（1-t）K0+tK1）-1/4≥（1-t）λ（K0）-1/4+tλ（K1）-1/4（0.3）等号成立当且仅当K0，K1为[同]位[相]似，即相差一个平移或伸缩。
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