各向异性有限元和混合元分析

论文摘要

本文主要研究各向异性CN-1-连续的Hermite型有限元和混合元问题的非协调有限元分析。传统的有限元方法误差估计需要满足正则性条件或非退化条件,即:单元的直径和单元的最大内切圆直径的比值是一致有界的。这个条件限制了有限元的应用。这是因为,许多实际问题的解可能会在边界层或者区域的拐角处呈现各向异性特征,即真解沿某一个方向变化剧烈,此时,标准的有限元方法精度降低。另外,在一些问题中,例如复合材料问题,如果采用正则网格剖分,计算量非常大。因此,采用各向异性有限元（即不满足正则性条件）是很有必要的。目前各向异性有限元已经成为国内外学者关注的热点之一。第二章中,我们构造了两类Hermite型有限元,在不需要满足正则性条件下,运用Hermite插值的Newton公式、重合节点的均差和各向异性插值理论统一地证明了CN-1-连续各向异性矩形元的误差估计,并将矩形元推广到三维长方体元。最后给出了数值算例验证了理论分析的结果。Darcy-Stokes问题是模拟多孔介质流和液体流动的耦合问题。在某些子区域上,方程表现为Darcy方程;在某些子区域上,方程表现为Stokes方程。在一个区域上,当v（x）=ε2、α（x）=1时,Darcy-Stokes方程变为奇异摄动方程。由于带有不连续系数v（x）,α（x）,很多对Stokes问题或对Darcy问题收敛的有限元对Darcy-Stokes问题是不稳定的或收敛性降低。在第三章中,首先我们构造了两个新的非协调矩形单元,分析了单元对Darcy-Stokes问题的稳定性,给出了有限元误差分析结果;并且证明了对一个区域上的奇异摄动Darcy-Stokes问题,所构造的单元关于奇异摄动系数是一致收敛的。然后将矩形元推广到三维长方体单元,分析了三维单元对Darcy-Stokes问题和奇异摄动问题的稳定性和一致收敛性。最后给出了数值实验,与理论分析是吻合的。Stokes问题是流体力学中的一种重要问题,速度与压力同时计算,是标准的混合问题。分析的难点在于有限元空间必须满足离散的inf-sup条件或Babu（?）ka-Brezzi条件。本文在第四章中首先构造了一个新的非协调三角形元和两个矩形元,分析了单元的性质,证明了单元对Stokes问题满足离散的B-B条件,并且给出误差分析,证明了单元对速度和压力都有二阶收敛精度。然后构造了三维非协调元,给出了单元对Stokes问题的稳定性和误差分析。最后给出了数值分析结果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 前言
• 第1章 有限元方法基本理论
• 1.1 基本符号和Sobolev空间相关结论
• 1.2 有限元方法的基本思想
• 1.3 各向异性有限元
• 1.4 混合有限元方法
• 1.4.1 混合元理论
• 1.4.2 Darcy-Stokes问题
• 1.4.3 Stokes问题
• 第2章 2N阶椭圆问题的各向异性Hermite元分析
• 2.1 重合节点的均差
• N-1-连续矩形元'>2.2 C^N-1-连续矩形元
• i-（2N-1）矩形元'>2.2.1 B_i-（2N-1）矩形元
• i-2N矩形元'>2.2.2 B_i-2N矩形元
• N-1-连续各向异性元误差估计及应用于2N阶椭圆问题'>2.3 C^N-1-连续各向异性元误差估计及应用于2N阶椭圆问题
• N-1-连续长方体元及应用于2N阶椭圆问题'>2.4 C^N-1-连续长方体元及应用于2N阶椭圆问题
• 2.5 数值实验
• 第3章 Darcy-Stokes问题的非协调有限元分析
• 3.1 Darcy-Stokes问题
• 3.2 非协调有限元构造
• 3.2.1 矩形单元Ⅰ
• 3.2.2 矩形单元Ⅱ
• 3.3 非协调有限元误差估计
• 3.4 常系数Darcy-Stokes奇异摄动问题的有限元逼近
• 3.5 三维Darcy-Stokes问题的有限元分析
• 3.5.1 三维有限元构造
• 3.5.2 有限元逼近及误差分析
• 3.5.3 三维奇异摄动Darcy-Stokes方程
• 3.6 数值实验
• 第4章 Stokes问题的非协调有限元分析
• 4.1 Stokes问题
• 4.2 非协调有限元构造
• 4.2.1 三角形单元
• 4.2.2 矩形单元
• 4.3 误差分析
• 4.4 三维Stokes问题的非协调有限元逼近
• 4.5 数值实验
• 参考文献
• 博士期间发表的论文
• 致谢