渗流力学模型的多步特征数值方法

论文摘要

油藏的运移聚集、油气资源的开采、地下水的污染和海水入浸等众多的渗流问题，从物理本质上考虑，它们都是流体在地下复杂多孔介质问的运移现象。这类运移通常是对流占优或强对流占优的扩散（包括机械弥散）运动。这里我们具体考虑两个典型的渗流力学模型：可混容驱动问题和海水入浸问题。 对于上述大规模长时间的应用问题，数值方法求解其数学模型常常遇到很大的困难，显著的困难在于：强对流占优扩散方程的解具有陡峭且移动的前沿；求解一般抛物方程所采用的标准有限元或有限差分法会产生难以接受的数值震荡和数值弥散；为克服数值震荡，工业中求解这类问题所使用的加权迎风法又会产生较强的数值弥散，上世纪八十年代，美国著名计算数学家Jim Douglas等提出了修正特征方法（简称MMOC），使用MMOC求解对流占优的扩散问题，很大程度上消除了传统方法导致的数值震荡和数值弥散，MMOC成功应用于诸如油藏模拟、海水入浸等问题。然而，特征方法也存在自身的不足，尤其是它不能保持物理问题所固有的质量守恒特性，在接下来的时间里，特征方法又得到了不断的改进，在原有的思想上提出了带修正平流项的特征方法（简称MMOCAA），该方法能保持流体的质量守恒特性。然而，上述两种特征法均难以处理较复杂的边界条件，Euler-Lagrange局部共轭方法（简称ELLAM），作为改进的特征方法不仅保持质量守恒，而且能够方便地处理边界条件。MMOCAA方法和ELLAM方法都已成功地应用于渗流问题的数值模拟。 作为提高运算效率的重要方法，多步方法广泛应用于常微分方程和抛物型偏微分方程的数值求解，用多步向后差分法（简称BDF）求解抛物问题，其离散程序是全隐格式，求解非线性抛物问题，隐格式所需的计算量较大，受稳定性限制，单纯的显格式又不实用，著名计算数学家Crouzeix于上世纪八十年代初提出了基于算子分解的隐-显多步有限元法，该法在最近得到了发展，成为求解某些抛物方程的高效方法，隐-显多步方法对时间的离散基于线性多步法，离散方程的一部分为隐格式，另一部分为显格式，其中要求隐格式为强A（O）-稳定。由Wildlund于上世纪六十年代提出的A（Θ）-稳定性，不仅克服了Dahlquist的A-稳定性的二阶限制，而且使得抛物方程的时间离散和空间离散可以独立进行。隐、显结合的多步方法求解抛物方程，每一个时间步所求解的线性方程组的系数矩阵是相同的，因而其格式非常高效，另外，这种方法还是稳定和相容的。 本文所做研究工作集中以下两个方面：首先，对两个典型的渗流问题提出并分析

论文目录

• Abstract
• Abstract （In Chinese）
• Chapter 1 Introduction
• §1.1 Models of Porous Fluid Flows
• §1.2 Existing Numerical Methods
• §1.3 Contributions of This Dissertation
• Chapter 2 Multistep Characteristic Methods for Simulation of Miscible Displacement of Incompressible Fluid
• §2.1 Preliminaries
• §2.2 Multistep Characteristic Finite Element Method
• §2.2.1 Formulation of the Method
• §2.2.2 A Priori Error Estimates
• §2.2.3 Numerical Experiment
• §2.3 Multistep Characteristic Mixed Finite Element Method
• §2.3.1 Formulation of the Method
• §2.3.2 A Priori Error Estimates
• §2.4 Multistep Characteristic Finite Difference Method
• §2.4.1 Preliminaries
• §2.4.2 Convergence Analysis
• Chapter 3 Multistep Characteristic Finite Element Method for Seawater Intrusion Problem
• §3.1 Prelimiuaries
• §3.2 Multistep Characteristic Finite Element Method
• §3.2.1 Formulation of the Method
• §3.2.2 Convergence Analysis
• §3.3 Characteristic Finite Volume Element Method
• §3.3.1 Formulation of the Scheme
• §3.3.2 Error Analysis
• §3.4 Improved Analysis of the Finite Element Method
• §3.4.1 Formulation of the Characteristic Finite Element Method
• §3.4.2 Error Estimates
• §3.5 A Decoupled Characteristic Finite Element Procedure for Seawater Intrusion Problem
• Chapter 4 Implicit-explicit Multistep Characteristic Methods For Convention Diffusion Problems
• §4.1 Preliminaries
• §4.2 Formulation of the Method for Convection-dominated Problems
• §4.2.1 Methods for Special Parabolic Equations
• §4.2.2 Analysis
• §4.2.3 Extension to General Convection-diffusion Equations
• §4.3 An Improved Multistep Finite Element Method
• §4.3.1 Description of the Problems
• §4.3.2 Implicit-explicit Multistep Finite Element Method for Convection Diffusion Equations
• Bibliography
• Acknowledgment
• Brief Introduction to the Author （In Chinese）
• List of Publications
• 学位论文评阅及答辩情况表