基于图像处理的高阶非线性偏微分方程

论文摘要

在图像处理和计算机视觉中,系统地采用偏微分方程(PDEs)方法是近二十多年发展的新兴领域。现已积累了丰富的研究成果,并显示出强大的生命力。目前,对于图像处理中的二阶非线性PDE理论上已经取得了相当丰富系统的结果,而对于高阶非线性PDE的研究结果却很少。另外,基于变分的乘性噪声模型研究还是一个很新的领域,在这方面的理论分析还不完善。本文主要研究三个方面内容：一是讨论图像去噪中四阶正则化YK方程弱解的存在唯一性和广义PM方程强解的存在唯一性；二是研究图像修复中粘性的BSCB方程和MBSCB方程组(Modified BSCB Systems)解的存在唯一性及正性；三是讨论一类基于变分的乘性噪声去除模型及相应的演化方程BV解的存在唯一性和有界性。第一章我们简要概述图像处理中高阶非线性PDEs和基于变分的乘性噪声去除模型的研究背景、进展以及本文所研究的问题。第二章我们针对图像去噪中四阶YK方程理论上的不适定性,提出正则化的YK方程,证明正则化YK方程在有界区域上弱解的存在唯一性并给出数值实验结果。另外,我们还证明在一维有界区间上广义PM方程强解的存在唯一性。第三章首先我们证明粘性的BSCB方程和MBSCB组在二维环面上光滑解的存在唯一性。其次我们得到一类带有非线性扩散项的MBSCB方程组在二维有界区域上弱解的存在唯一性。最后我们结合图像修复机制,给出恰当的初边值条件,证明MBSCB方程组在二维有界区域上弱解的存在性和正性。第四章我们首先介绍已有的基于变分的乘性噪声去除模型,然后,引入一新的变分去噪模型,并证明该变分问题及相应的演化方程BV解的存在唯一性和有界性。最后,通过具体的数值实验同已有的去噪模型进行比较,证明该模型能有效地去除图像中的乘性噪声。本文所用的主要方法,包括Galerkin逼近、粘性消失、先验估计以及不动点方法。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究意义
• 1.2 研究现状
• 1.3 论文研究的主要内容
• 第二章 图像去噪中的四阶扩散方程
• 2.1 引言
• 2.2 四阶正则化YK方程弱解的存在唯一性
• 2.2.1 记号及问题描述
• 2.2.2 线性问题的弱解
• 2.2.3 弱解的存在唯一性
• 2.2.4 数值实验
• 2.3 广义PM方程强解的存在唯一性
• 2.3.1 记号及问题描述
• 2.3.2 线性问题的强解
• 2.3.3 强解的存在唯一性
• 第三章 图像修复中的BSCB方程及MBSCB方程组
• 3.1 BSCB模型的粘性分析
• 3.1.1 问题描述
• 3.1.2 BSCB方程粘性问题的全局光滑解
• 3.1.3 MBSCB方程组的粘性消失结果
• 3.2 带有非线性扩散项的MBSCB方程组的初边值问题
• 3.2.1 问题描述
• 3.2.2 严格正的扩散情形
• 3.2.3 弱解的存在唯一性
• 3.3 MBSCB方程组的初边值问题
• 3.3.1 记号及问题描述
• 3.3.2 逼近问题
• 3.3.3 弱解的存在性及正性
• 第四章 基于变分的乘性噪声去除模型
• 4.1 引言
• 4.2 预备知识
• 4.3 变分问题及相应的演化方程
• 4.3.1 变分问题BV解的存在唯一性及有界性
• 4.3.2 演化方程BV解的存在唯一性及有界性
• 4.4 数值实验
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士期间发表或已完成的论文