论文摘要
首先,本论文简要回顾了非线性演化方程的几个求解方法,经典对称群和推广对称群方法。（1）非线性演化方程的几个求行波解方法和多线性分离法（2）用经典的李群理论求非线性演化方程的对称群和李代数。在对称群作用下方程保持形式不变,从而得到方程更多的解。在寻找2+1维非线性演化方程的对称时,介绍了形式级数对称法的基本思想。（3）对于变系数的非线性演化方程,使用推广的对称群理论求方程的推广对称群,从而得到方程之间的有限变换。利用有限变换可以在某些不同变系数方程的解之间建立一种关系。其次是上述方法在非线性演化方程中的应用。（1）把形式级数对称法应用到2+1维Boiti-Leon-Pempinelli（BLP）方程,求得该方程的对称及代数结构。（2）把推广的对称群理论运用到变系数Korteweg- de Vries（KdV）方程,得到了该方程的推广对称群和有限变换,并利用变换求解了具有任意函数的变系数KdV方程,得到的结果具有一般性。然后选择了余弦函数作为变系数求得某些精确解。（3）在求高阶的非线性薛定谔方程（HONLS）方程和非线性薛定谔（NLS）方程的推广对称群时,把HONLS方程的高阶项和非线性项统一写为函数g,g当作跟u有着相同地位的独立变量。这样HONLS方程和NLS方程就可以写为统一的方程,并且得到了它们的推广对称群和有限变换。在选取指数函数为变系数之后,得到了相应变系数的HONLS方程和NLS方程的精确解,这些解很好的解释了色散缓变光纤中的孤子传播特征。（4）应用到2+1维变系数Broer-Kaup方程中时,把方程经过一个简单的变换化作1+1维非线性方程,然后再求其推广对称群。最后通过变换得到了2+1维变系数BK方程的一些精确解。这些解与常系数BK方程类似,只是受到变系数函数的一些影响。最后,本文提出一些有待解决的问题。