Cantor集结构及其相应分形维数计算的研究

论文摘要

本文主要研究的是以经典三分Cantor集为基础,通过变形,推广和改变,得到三类广义Cantor集,进而对他们的维数和测度进行研究,主要创新点有:（一）对广义三分Cantor集进行了研究,主要结果有:（1）建立了其盒维数的计算公式,由此得到了此类Cantor集的维数;（2）证明广义三分Cantor集的Hausdorff测度等于1;（3）建立了一种计算分离和刚接触的分形盒维数的计算方法。（二）对齐次（2n-1）分Cantor集进行了研究,主要结果有:（1）证明了齐次Cantor集Xω,Yω的算术和仍然是齐次Cantor集;（2）建立了齐次Cantor集Xω,Yω和它们的算术和Xω·+Yω的Hausdorff维数的关系式;（3）建立了齐次Cantor集Xω,Yω和Xω+Yω的Hausdorff测度的关系式。（三）对具有重叠结构的Cantor集进行了研究,建立了不完全重叠的Cantor集的Hausdorff维数的计算公式。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 分形理论的产生与发展
• 1.2 分形理论对现代科学的作用和影响
• 1.3 分形研究的现状与展望
• 1.3.1 关于数学分形的研究
• 1.3.2 分形应用的若干研究领域
• 1.3.3 分形几何研究面临的重大突破
• 1.4 本文研究的主要内容及意义
• 1.5 本章小结
• 第二章 分形理论的数学基础
• 2.1 分形的定义
• 2.2 分形空间
• 2.3 分形维数
• 2.3.1 分形维数的定义
• 2.3.2 维数之间的关系
• 2.4 自相似集
• 2.5 本章小结
• 第三章 关于一类广义三分Cantor集的盒维数计算
• 3.1 广义三分Cantor集的盒维数的计算
• 3.2 广义三分Cantor集的Hausdorff测度
• 3.3 本章小结
• 第四章 一类齐次Cantor集的算术和维数计算
• 4.1 基本定义
• ω+Y_ω的Hausdorff维数'>4.2 齐次Cantor集X_ω+Y_ω的Hausdorff维数
• ω+Y_ω的Hausdofff测度'>4.3 齐次Cantor集X_ω+Y_ω的Hausdofff测度
• 4.4 本章小结
• 第五章 一类具有重叠结构的Cantor集的分类及其维数计算
• λ的构造'>5.1 E_λ的构造
• 5.2 重叠的分类及判定
• 5.2.1 重叠的分类
• 5.2.2 对重叠类型的判定
• 5.3 Hausdorff维数的求法
• 5.4 本章小结
• 第六章 总结与展望
• 6.1 总结
• 6.2 展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表的论文