常及中立型微分代数系统的块循环预处理方法

论文摘要

本文主要研究了用边值方法求解线性常系数微分代数方程及延迟微分代数方程。基于线性多步格式的边值方法是一类较新的求解微分方程的数值方法。利用边值方法可以把所求的（延迟）微分代数方程问题最终转化为线性代数方程组的形式。并且,由边值方法离散所得的线性方程组的系数矩阵M是大型稀疏非对称矩阵。我们用广义极小残量（GMRES）方法来求解该线性代数方程组。为了加快GMRES方法的收敛速率,我们构造了相应的块循环预处理子。在第一章,我们简要介绍了用迭代方法求解稀疏线性方程组的相关背景知识,并回顾了自2000年以来,国内外循环预处理子研究的基本状况。在第二章,我们考虑了直接用边值方法离散微分代数方程。我们详尽地给出了边值方法的离散格式;注意到由边值方法离散所得的系数矩阵,具有相当特殊的结构（可以看作是块Toeplitz矩阵低秩扰动形成的）,我们具体构造了Strang类型的块循环预处理子。接着,我们证明了,当用一个Ak 1 , k2-稳定的边值方法来求解微分代数方程时,我们的预处理子是可逆的且预处理后的系数矩阵的特征值的分布是“集束”的。因此,当应用GMRES方法来求解预处理后的方程组时,GMRES方法能够快速收敛。其后,我们给出了数值实验来表明我们方法的有效性。在第三章,我们结合边值方法与GMRES方法来求解一类延迟微分代数方程。我们构造了相应的块循环预处理子。其后的理论分析及最后的数值实验表明,我们的预处理子是可逆的,有效的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 当前循环预处理子研究状况
• 1.3 本文的主要工作
• 2 微分代数方程离散化系统的预处理子
• 2.1 边值方法及其矩阵形式
• 2.2 预处理子的构造
• 2.3 谱分析
• 2.4 数值实验
• 3 延迟微分代数方程离散化系统的预处理子
• 3.1 边值方法及 Strang 类型的预处理子
• 3.2 预处理子的可逆性
• 3.3 收敛速率
• 3.4 数值实验
• 4 全文总结与展望
• 致谢
• 参考文献