无穷维KAM理论及其在偏微分方程中的应用

论文摘要

第一章,主要介绍了KAM理论的背景,意义,国内外研究现状及本文的主要工作.第二章,通过仔细分析大的变系数矩阵,对有限重法向频率,无界但非临界条件下的KAM理论的基本方程,即高维大变系数的带小除数的方程的解建立了估计.该结果推广了只能估计一维大变系数的带小除数的方程解的Kuksin引理.第三章,通过运用第二章中的估计,建立了一条处理有限重法向频率,无界但非临界条件下的KAM定理,更加完善了无界KAM理论,使其能够应用到更多的偏微分方程.第四章,把第三章中建立的KAM定理应用于一个不适用于以往KAM定理的Hamilton偏微分方程,即耦合的KdV方程,得到了大量的KAM环面和周期解.第五章,通过寻找10阶部分Birkhoff标准型,并利用一个修正的无穷维Hamilton系统的KAM定理,证明了带有五次非线性项的波方程的拟周期解的存在性和线性稳定性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 有限维Hamilton系统的KAM理论
• 1.2 无穷维Hamilton系统的有界KAM理论
• 1.3 无穷维Hamilton系统的无界KAM理论
• 1.4 本文的主要工作
• 1.4.1 重法向频率,非临界条件下的同调方程
• 1.4.2 带有五次非线性项的波方程的拟周期解
• 第二章 重法向频率,非临界条件下的同调方程
• 2.1 本章的主要结论和安排
• 2.2 高阶大的变系数带小除数的同调方程
• 2.3 不含小除数的同调方程
• 2.4 附录
• 第三章 重法向频率,非临界条件下的KAM定理
• 3.1 KAM定理的陈述
• 3.2 KAM定理的证明
• 3.2.1 概要
• 3.2.2 线性化方程
• 3.2.3 余项估计,测度估计
• 3.2.4 迭代和收敛
• 3.3 附录
• 第四章 应用于偏微分方程
• 4.1 耦合KdV方程
• 4.2 Birkhoff标准型
• 4.3 周期解的存在性
• 第五章 带有五次非线性项的波方程的拟周期解
• 5.1 本章的主要结论和安排
• 5.2 Birkhoff标准型
• 5.3 定理5.1的证明
• 5.4 修正的KAM定理
• 参考文献
• 致谢
• 作者已发表或已完成的论文