外汇期权定价的非参数几何Lévy模型与对冲策略研究

论文摘要

外汇市场是全球交易量最大的金融市场,2010年12月的日均交易量达4万亿美元。布雷顿森林体系崩溃后,汇率波动加剧,国际经济活动面临巨大的汇率风险。在此背景下,外汇衍生产品应运而生并快速发展,其中外汇期权作为低成本的汇率风险管理工具更是受到投资者欢迎,产品结构不断完善。金融衍生产品创新过程中,产品定价与对冲策略设计是其中的重要环节。本文在非参数框架下,以Lévy过程为标的驱动过程,对外汇期权的定价与对冲策略进行了研究,涉及的问题包括Lévy过程的非参数估计、模型校正、外汇期权定价方法、隐含波动率特征和平方对冲策略等。Lévy过程的样本路径具有间断点,可以刻画金融资产价格运动中的跳跃行为,因而在金融建模中得到广泛应用。现有的Lévy模型均对跳跃行为作了分布假设。资产价格运动中的跳跃行为由几个分布参数刻画,对于复杂的金融系统来说,具有一定的局限性。本文提出的非参数几何Lévy模型,不需要对跳跃行为作分布假设,突破了这一局限。但非参数框架下的几何Lévy模型更难估计,模型更难校正,期权定价方法更复杂。本文围绕定价与校正这两个主题展开研究。首先采用非参数估计方法,从汇率的离散样本中估计出Lévy过程的特征三元组,其中Lévy测度由一个离散化的Lévy密度和跳跃强度表示。然后以此为先验知识,结合外汇期权市场价格数据中隐含的汇率运动信息,确定一个正则化的平方定价误差和,作为最优化问题的目标函数。采用大规模边界约束BFGS（LBFGSB）算法对此最优化问题进行寻优,获得模型参数。其次,借鉴期权定价的傅立叶分析方法,将一个经修正的外汇期权时间价值函数的傅立叶变换,表示为驱动Lévy过程特征函数的函数。然后通过离散傅立叶逆变换获得修正的外汇期权时间价值函数的数值解,从而得到外汇期权价格。最后研究了几何Lévy模型的平方对冲策略。平方对冲策略是对冲误差期望值最小化的结果,取期望的测度可为鞅测度或历史测度。鞅测度下,标的过程可分解为一个鞅部分和一个漂移部分;历史测度下,未定权益可表示为F（o|¨）llmer-Schweizer分解。利用这两种方法获得的平方对冲策略表达式还不能直接用于计算。本文对平方对冲策略在鞅测度和历史测度下的更直接表示进行了探讨,并分析了两者之间的关系。全文中,还多处分析了Lévy模型的隐含波动率表面的形状。结果表明,通过参数选择,可使Lévy模型的隐含波动率表面比Black-Scholes模型更平坦。作为补充,讨论了隐含Lévy波动率模型的外汇期权定价方法和模型估计方法。本文的创新之处在于提出一个非参数框架下的非参数几何Lévy模型,构造出相应的外汇期权定价方法和模型校正方法,并讨论了此模型下的平方对冲策略计算问题。非参数框架下,跳跃-扩散类模型不需要假定跳跃行为的分布,跳跃行为由一个离散化的Lévy密度表示,故现有跳跃-扩散类模型可推广为非参数几何Lévy模型。利用傅立叶变换推导出非参数几何Lévy模型下外汇期权的价格计算公式,并分析了数值实现方法的收敛速度和误差控制。模型校正问题涉及病态问题的良态化。本文利用相对熵作为正则函数,结合正则化方法和大规模边界约束BFGS算法,在MATLAB平台上实现非参数几何Lévy模型的校正。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景与意义
• 1.1.1 研究背景
• 1.1.2 研究意义
• 1.2 研究内容与研究方法
• 1.2.1 拟研究的关键问题
• 1.2.2 研究内容与论文结构
• 1.2.3 研究方法
• 1.3 论文创新之处
• 第二章 文献综述
• 2.1 外汇期权定价模型的研究现状
• 2.1.1 Garman-Kohlgagen 外汇期权定价模型
• 2.1.2 Grabbe 的三随机因素模型
• 2.1.3 随机波动率模型
• 2.1.4 外汇期权定价的实证研究
• 2.2 基于Lévy 过程的金融建模
• 2.2.1 期权定价的Lévy 市场模型
• 2.2.2 Lévy 过程的等价鞅测度
• 2.2.3 Lévy 过程的非参数化估计
• 2.3 不完备市场模型的对冲策略
• 2.3.1 Merton 方法
• 2.3.2 超对冲
• 2.3.3 效用最大化策略
• 2.3.4 基于幂跳过程的定价与对冲
• 2.3.5 有交易成本的对冲策略
• 2.4 国内相关研究评述
• 第三章 外汇衍生产品市场概览
• 3.1 外汇衍生产品的产生与发展
• 3.1.1 外汇衍生产品的场内交易市场
• 3.1.2 外汇衍生产品的场外交易市场
• 3.2 我国外汇衍生产品市场的发展
• 3.2.1 我国汇率制度的历史变迁
• 3.2.2 我国外汇衍生产品市场的发展
• 3.3 离岸人民币衍生产品市场
• 3.4 国际外汇期权市场报价机制
• 3.4.1 普通期权组合的交易工具
• 3.4.2 外汇期权的Delta 类型
• 3.4.3 外汇期权市场的平价概念
• 3.4.4 Delta 到执行价格的转换
• 3.4.5 外汇期权隐含波动率曲线的构造
• 3.5 本章小结
• 第四章 Lévy 过程建模及其非参数化估计
• 4.1 Lévy 过程
• 4.1.1 Lévy 过程的定义与属性
• 4.1.2 Lévy 过程的分类
• 4.1.3 Lévy 过程的例子
• 4.2 基于Lévy 过程的金融建模方法
• 4.2.1 设定模型结构
• 4.2.2 设定Lévy 过程
• 4.2.3 跳跃扩散模型
• 4.3 Lévy 过程的非参数化估计
• 4.3.1 基于高频数据的非参数化估计
• 4.3.2 模拟分析
• 4.4 本章小节
• 第五章 基于低频数据的Lévy 过程非参数化估计
• 5.1 估计方法
• 5.1.1 Lévy 过程的特征函数
• 5.1.2 扩散系数估计量
• 5.1.3 跳跃强度参数估计量
• 5.1.4 漂移系数估计量
• 5.1.5 Lévy 密度函数的估计量
• 5.1.6 Gugushvili 方法的修正
• 5.2 关于核函数和带宽的选择
• 5.2.1 简单快速方法
• 5.2.2 核函数的选择
• 5.3 汇率过程的经验分布
• 5.3.1 样本数据说明
• 5.3.2 汇率收益率的经验分布
• 5.3.3 汇率过程的经验Lévy 密度
• 5.4 本章小节
• 第六章 外汇期权定价的非参数几何Lévy 模型
• 6.1 外汇期权定价的非参数几何Lévy 模型
• 6.1.1 Lévy 过程的等价测度
• 6.1.2 几何Lévy 模型的隐含波动率
• 6.2 非参数几何Lévy 模型下的外汇期权定价
• 6.2.1 风险中性密度定价方法
• 6.2.2 基于傅立叶变换的定价方法
• 6.3 非参数几何Lévy 模型的校正
• 6.3.1 非线性最小二乘法
• 6.3.2 正则化校正方法
• 6.3.3 正则化校正方法的具体步骤
• 6.4 数值实验
• 6.5 本章小节
• 第七章 外汇期权定价的隐含Lévy 波动率模型
• 7.1 隐含Lévy 波动率模型
• 7.1.1 隐含Lévy 空间波动率模型
• 7.1.2 隐含Lévy 时间波动率模型
• 7.1.3 模型实例
• 7.2 隐含Lévy 波动率模型的期权价格与Delta
• 7.2.1 期权定价
• 7.2.2 Delta 计算
• 7.3 隐含Lévy 波动率表面
• 7.3.1 正态逆高斯分布类模型
• 7.3.2 Meixner 分布类模型
• 7.4 基于经验特征函数的模型估计方法
• 7.4.1 独立同分布随机过程的经验特征函数方法
• 7.4.2 相关平稳过程的经验特征函数方法
• 7.4.3 实证分析
• 7.5 本章小结
• 第八章 几何Lévy 模型的平方对冲策略
• 8.1 对冲策略的一般性质
• 8.2 平方对冲策略
• 8.2.1 均值-方差对冲策略
• 8.2.2 风险最小对冲策略
• 8.2.3 鞅测度下对冲策略的求解
• 8.3 几何Lévy 模型的平方对冲策略
• 8.3.1 鞅测度下的均值-方差对冲策略
• 8.3.2 均值方差对冲与delta 对冲的比较
• 8.3.3 历史测度下几何Lévy 模型的平方对冲
• 8.4 几何Lévy 模型的delta 对冲
• 8.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间取得的研究成果
• 致谢
• 附件