Rankin-Selberg L-函数的中心值及其应用

论文摘要

L-函数的特殊值被认为能深刻地反映定义该L-函数的数学对象的算术或者几何方面的信息.在许多问题的研究中,基于"vanishing"或者‘"non-vanishing"的假设,L-函数的中心值有着极其深刻的应用,因此引起了研究者特别的注意.例如,在20世纪60年代,由Birch和Swinnerton-Dyer提出的著名猜想：对于一个有理数域Q上的椭圆曲线,其相应的Hasse-Wcil L-函数L（s,E）在s=1/2处零点的阶r恰好等于对应的解群E（Q）的秩.该猜想不论是在L-函数的历史上,还是作为众多未解决的问题之一,都是非常有影响力的.再如,Iwanicc和Sarnak在论文[15]中,揭示了各类L-函数中心值不为零的L-函数所占的比例与Gauss类数问题之间有着深刻的联系.在本论文中,我们关心的是由L-函数的中心值来决定尖形式的问题.在1997年,Luo和Ramakrishnan在他们的论文[22]中,提出了这样一个问题：模型式的相关L-函数的特殊值,能在多大程度上决定该模型式本身?在同一篇论文中,他们证明了,对于一个正规化的尖点新形式f来说,它可以由一族L-函数的中心值{L（1/2,f,Xd）}来唯一决定,其中Xd遍历所有的二次特征.Luo和Ramakrishnan的结果相当于是将模型式的逆定理——由一族L-函数的函数方程来确定Dirichlct级数的自守性（参见Weil[29]或Iwaniec[12]第七章）,转变为用一族L-函数的中心值来决定.在这之后,Chinta和Diaconu在论文[3]中进一步将Luo和Ramakrishnan的结果推广到了GL（3）上的尖形式上.Luo在论文[21]中,将加权GL（1）的Xd变为加权GL（2）上的全纯尖形式,并且证明了如下的结果.设f是权为2κ,水平为N的正规化后的新形式,f’是权为2k’,水平为N’的正规化后的新形式.假设对无穷多个素数p,有正整数l,使得对Hcckc基H2ι（p）中的所有权为2l,水平为p的新形式h,满足条件则κ=κ’,N=N’并且f=f’.这就是说,对于全纯的尖形式,我们可以通过加权一族水平变化的全纯尖形式,研究相关L-函数的中心值,来决定该尖形式本身.最近,Ganguly, Hoffstein和Scngupta在论文[7]中,研究了加权一族权变化的L-函数的中心值来决定全纯尖形式的问题.确切的说,他们证明了如下的结果.记Hκ（1）为群SL2（Z）上权为κ的全纯尖形式的一组Hecke基.假设h∈Hι（1）,h’∈Hι’（1）.对无穷多的足够大的κ,如果有则l=l’,h=h’.更多的关于由L-函数的中心值决定尖形式的结果,参看Li[18], Liu [20], Luo和Ramakrishnan [23], Munshi [24]和Stark [27].我们论文中要考虑的第一个问题,是对Hecke-Maass尖形式,通过加权其权变化的全纯尖形式,研究相应的L-函数的中心值,来决定Hecke-Maass尖形式本身.设u为一个群SL2（Z）上特征值为λ=1/4+t2的Hccke-Maass尖形式.我们证明了u可以由Rankin-Sclbcrg L-函数L（s,f（?）u）的中心值唯一决定,其中对无穷多足够大的权κ,f遍历Hκ（1）.更准确的说,我们有如下的定理.定理1.1令u为给定的群SL2（Z）上的特征值为1/4+t2的Hecke-Maass尖形式,u’为给定的群SL2（Z）上的特征值为1/4+tr2的Hecke-Masss尖形式.设u和u’都是正规化的尖形式,即其相应的傅立叶展开的首项系数为1.如果对无穷多且足够大的κ和所有的f∈Hκ（1）,有则t=t’,u=u’.我们论文中要考虑的第二个问题,是对全纯的尖形式,通过加权谱变化的Hecke-Maass尖形式,研究相应的L-函数的中心值,来决定全纯尖形式本身.设f为群SL2（Z）的一个权为κ的全纯尖形式.我们证明了,f可以由一族Rankin-Sclbcrg L-函数的中心值{L（1/2,f（?）uj）：uj∈U}唯一决定,其中U=（uj：j≥1}为SL2（Z）上的Hecke-Maass形式的正规化的正交基.更准确的说,我们有如下的定理.定理1.2令f和f’为SL2（Z）上的两个全纯尖形式,其对应的权分别为κ和κ’.令U={uj：j≥1）为sL2（Z）上Hecke-Maass尖形式的一组正规化的正交基.如果对所有的uj∈U都成立,则f=f’,κ=κ’.定理1.1和定理1.2的证明是基于强重数一定理（见文献Piatetski-Shapiro[25]）.强重数一定理是自守形式理论的一块基石,它说,要证明两个Hcckc尖形式相等,仅仅需要证明对几乎所有的素数p,它们在p处的傅立叶系数相等即可.在论文的第一章中,我们将利用强重数一定理,证明定理1.1和定理1.2可以分别由如下的定理1.3和定理1.4得到.定理1.3设f和u如定理1.1中定义.令h为一个光滑的实值函数,其紧支集是在区间[1,2]上,并且满足h（j）<<j1.当K足够大时,我们有其中,这里λf（p）为f在素数p处正规化后的傅立叶系数,h为h的傅立叶变换,γ0为欧拉常数.定理1.4设f和U如定理1.2中定义.对足够大的T,我们有其中λj（p）为uj在素数p正规化后的傅立叶系数.我们将在论文的第三章中证明定理1.3.证明的思想类似于Ganguly, Hoff-stein和Scngupta的文章[7],即将Rankin-Sclbcrg L-函数的中心值表示为由傅立叶系数构作的速降的级数.然而,因为我们对κ多进行了一次求和,所以使用的方法与[7]有所不同.定理3的证明过程中,我们首先利用渐进函数方程和Pctcrsson迹公式,之后处理Pctcrsson迹公式产生的对角项,证明对角项给出定理1.3中的主项和余项.对于非对角项,通过对J-贝塞尔函数关于权κ求平均,我们证明它是可以忽略不计的.在论文的第四章中,我们将证明定理1.4.定理1.4的证明思路类似于定理1.3.但是因为定理1.4是对Maass尖形式求和,所以证明方法与对全纯尖形式求和的情形是不同的,并且计算也更为繁琐.为了证明定理1.4,我们首先应用Rankin-Sclbcrg L-函数的渐进函数方程,之后利用Kuznctsov迹公式.然后我们需要分别估计Kuznctsov迹公式产生的连续谱部分,计算对角项部分,以及估计非对角项部分.对于对角项部分,我们用围道积分以及留数定理可以得到主项.对于非对角项,我们应用Li最近在文章[19]中研究GL（2）×GL（3）中心值的一些方法来处理.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 符号说明
• 第一章 引言
• §1.1 历史和主要结果
• §1.2 主要结果的证明
• 第二章 Rankin-Sclbcrg L-函数
• §2.1 全纯尖形式简介
• §2.2 Maass形式简介
• §2.3 Rankin-Sclbcrg L函数
• §2.4 V（κ,t,X）的性质
• 第三章 Rankin-Sclbcrg L-函数的中心值在全纯尖形式上的一次矩
• §3.1 引言
• §3.2 应用Pctcrsson迹公式
• §3.3 对角项的估计
• §3.4 非对角项的估计
• 第四章 Rankin-Sclbcrg L-函数的中心值在Maass尖形式上的一次矩
• §4.1 引言
• §4.2 应用Kuznctsov迹公式
• §4.3 对角项的估计
• §4.4 非对角项的估计（Ⅰ）
• §4.5 非对角项的估计（Ⅱ）
• 参考文献
• 致谢
• 发表论文
• 学位论文评阅及答辩情况表