几何热流在数字图像处理中的应用

论文摘要

本文的主要工作是运用几何分析的方法研究了一个源于图像处理中的实际问题，即如何从彩色图像中的诸多目标中提取出特定目标的轮廓，为此我们将此问题转化为一个变分问题，对原有的测地活动环路模型和Chan-Vese模型进行了改进，并从理论上严格证明了这些新得到的曲线水平集演化方程解的存在性和唯一性，此项研究充实了当前基于几何偏微分方程的图像处理方法中的理论基础部分，本文也通过数值实验，验证了改进后的模型的有效性，本文的主要研究成果有以下几个方面： 1．对测地活动环路模型的改进。 我们首先用统计分析的方法，通过对特定目标所在区域中选取的样本点进行主成分分析，由此构造出一个特定目标的判别函数，并将其融入到传统的边界停止函数中。这样，这个新的边界停止函数不仅与图像的亮度的梯度有关，还与图像中特定目标的颜色特征有关。我们将这个新的边界停止函数用于传统的测地活动环路模型中，在新的边界停止函数的影响下，演化曲线仅在图像中的特定目标的边界处停下来，这样就达到了对彩色图像中特定目标的轮廓提取，改进后的模型的关键是要去求解一组曲率演化方程，我们利用粘性解理论和经典的几何分析手法，如梯度估计，极大值原理等，证明了该演化方程的粘性解的存在性、唯一性及稳定性，但该模型尚不能提取出特定目标的内部轮廓，这有待于下述模型的改进。 2．Chan-Vese模型的改进。 我们在传统的Chan-Vese模型中加入了上述的新的边界停止函数，从而提出了一个新的活动轮廓的变分模型。新模型在利用图像边界的梯度信息作为演化曲线停止标准的同时，也继承了原来的Chan-Vese模型的全局性的优点，从而在图像轮廓提取时，可以同时提取目标的内部和外部边界。与原来的Chan-Vese模型不同的是我们的模型避开了Dirac函数，这也就在数值实验中避开了由于Dirac函数的不同近似带来的数值解的不确定性，我们利用粘性解理论，经典的偏微分方程理论知识，以及Schauder不动点定理证明了由这个模型所导出的演化方程组的解的存在性和唯一性。 3．基于BV函数理论的Chan-Vese模型的另一改进。 为了避免数值实验中对水平集的重新初始化，我们利用符号距离函数的性质，用水平集函数定义了一个惩罚能量，将这个惩罚能量加到上述已改进了的Chan-Vese模型的泛函上去，就可得到了一个新的变分泛函。我们用BV函数空间的理论，BV函数空间的紧性和下半连续性证明了这个变分模型的极小解的存在性。也正因为这种改进，使得初始水平集函数可以取为分段光滑函数。因此，我们可以更充分地利用特定目标判别函数的性质，来定义初始水平集函数，使得所得到的初始曲线(零

论文目录

• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 数字图像分割技术概述
• 1.3 图像处理中的几何热流方法
• 1.4 本文的主要研究内容和结果
• 第二章 准备知识
• 2.1 能量泛函的一阶变分计算
• 2.2 水平集方法
• 第三章 改进的测地活动环路模型
• 3.1 测地活动环路方法介绍
• 3.2 改进的测地活动环路方法
• 3.3 粘性解的存在性、唯一性和稳定性
• 3.4 数值实验
• 3.5 结论
• 第四章 改进的Chan-Vese模型（一）
• 4.1 Chan-Vese模型介绍
• 4.2 新变分模型的提出
• 4.3 解的存在性和唯一性
• 4.4 数值实验
• 4.5 结论
• 第五章 改进的Chan-Vese模型（二）
• 5.1 新模型提出
• 5.2 能量泛函的极小解的讨论
• 5.3 数值实验
• 5.4 结论
• 第六章 总结和未来研究展望
• 6.1 总结
• 6.2 未来研究展望
• 附录A Thomas算法
• 附录B 主成分分析方法
• 附录C 结构条件的讨论
• 参考文献
• 致谢
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